円錐セクション。 円錐曲線 現時点で知っておくべきこと
円錐面は、円錐の頂点である特定の点を通過し、円錐のガイドである特定の線と交差する直線 (円錐の母線) によって形成される表面です。 コーンガイドに方程式を持たせます
円錐の頂点は座標を持ち、点 ) とガイドの点を通る直線としての円錐の母関数の正準方程式は次のようになります。
4 つの方程式 (3) および (4) から x、y、z を消去すると、円錐面の目的の方程式が得られます。 この方程式には非常に単純な特性があります。それは、差に関して均一である (つまり、すべての項が同じ次元である) ということです。 実際、最初に円錐の頂点が原点にあると仮定しましょう。 X、Y、Z を円錐上の任意の点の座標とします。 したがって、それらは円錐方程式を満たします。 円錐の方程式の X、Y、Z をそれぞれ XX、XY、XZ に置き換えた後 (X は任意の係数)、XX、XY、XZ は円錐の点の座標であるため、方程式が満たされる必要があります。座標の原点を通って点に至る直線、つまり円錐を形成します。 したがって、すべての現在の座標に同じ数値 X を掛けても、円錐の方程式は変わりません。この方程式は現在の座標に関して均一でなければならないということになります。
円錐の頂点がある点にある場合、座標の原点を頂点に移します。証明されたことによると、変換された円錐の方程式は新しい座標に関して、つまり次の点に関して均一になります。に
例。 原点と方向に頂点を持つ円錐の方程式を書きます
円錐の頂点 (0, 0, C) とガイドの点を通過するジェネレーターの正準方程式は次のようになります。
与えられた 4 つの方程式から x、y、および を削除しましょう。 c を置き換えて、最後の 2 つの式から と y を決定します。
基本的な理論情報
円筒面または単に シリンダーあるベクトルに平行に移動し、常にこの線と交差する直線の移動によって取得できる任意の面と呼ばれます。 ガイド。移動する直線は次のように呼ばれます 形成的な。
円錐面または単に 円錐と呼ばれる、特定の点を通過する直線の移動によって形成される面です。 円錐の頂上そしてこの曲線に沿って滑ります。 移動する直線は次のように呼ばれます 円錐を形成し、そして、母線がスライドする曲線は次のようになります。 ガイド。
与えられた直線(回転軸)を中心とした図形の回転とは、図形の各点が回転する動きです。
回転軸に垂直な平面内にある、回転軸上に中心を持つ円を表します。
線を軸の周りに回転させてできる面を 回転面。
2次曲面の正準方程式
2 次曲面は、2 次方程式によって直交座標で指定されます。
(7.1)
座標を変換する (軸の回転と平行移動) ことにより、方程式 (7.1) は正準形式に変換されます。 方程式 (7.1) に座標の積をもつ項がない場合、この方程式は次の完全な正方形で区切られます。 ,,そして、座標軸の平行移動によって、二次直線の場合と同じ方法で正準形式になります (二次直線の一般方程式の研究を参照)。 二次曲面とその正準方程式を表に示します。 3.
二次曲面の形状と位置は、通常、平行断面法によって研究されます。 この方法の本質は、表面が座標平面に平行ないくつかの平面と交差することです。 結果として得られるセクションの形状とパラメータにより、サーフェス自体の形状を決定することができます。
テーブル 3
双曲面: 単一キャビティ、 二重キャビティ、 | |
放物面: 楕円形、 双曲線、 |
楕円形、 双曲線、 放物線状、 |
問題解決の例
問題7.1。半径が次の球の方程式を書きます。 、中心は点にあります
.
解決。球とは、中心から等距離にある点の集合です。 したがって、次のように表すと、
任意の点の座標
球体とそれを通して平等を表現する
、持っています
等式の両辺を二乗することで、目的の球の正準方程式が得られます。
球の中心が原点にある場合、球の方程式はより単純な形になります。
.
答え。
.
問題7.2。原点と方向に頂点を持つ円錐面の方程式を書きます
(7.1)
解決。点を通る生成器の正準方程式
そして期間
ガイドにはフォームがあります
(7.2)
除外しましょう ,,式 (7.1) および (7.2) より。 これを行うには、式 (7.2) で次のように置き換えます。 の上 そして定義します そして :
;
これらの値を代入すると そして システム (7.1) の最初の方程式に代入すると、次のようになります。
または
結果として得られる方程式は 2 次円錐を定義します (表 3 を参照)。
問題7.3。
解決。この表面は、軸に平行な母線を持つ双曲円柱です。
実際、この方程式には次の内容は含まれません。 、シリンダーのガイドは双曲線です
対称中心が点にある
そしてその軸に平行な実軸
.
問題7.4。方程式で与えられる表面を探索して構築します
解決。サーフェスを平面と交差させてみましょう
。 その結果、
どこ
。 これは平面上の放物線の方程式です
指定された表面の平面による断面
放物線がある
平面部
交差する一対の線があります:
平面に平行な平面による断面
、誇張があります:
で
双曲線の実軸は軸に平行です
、 で
軸
。 研究対象の表面は双曲放物面です (その形状に関連して、この表面は「サドル」と呼ばれます)。
コメント。双曲放物面の興味深い特性は、すべての点がその表面上にある直線が存在することです。 このような行は次のように呼ばれます。 双曲放物面の直線生成器。双曲放物面の各点を通る 2 つの直線ジェネレーターがあります。
問題7.5。方程式によって決定される表面
解決。この方程式を正準形式にするために、変数の完全な二乗を選択します。 ,,:
結果として得られた方程式を表形式のものと比較すると (表 3 を参照)、これが 1 枚の双曲面の方程式であり、その中心が点に移動していることがわかります。
式に従った座標系の並列転送により
方程式を標準形式に戻しましょう。
コメント。 1 枚の双曲面には、双曲面と同様に、直線ジェネレーターの 2 つのファミリーがあります。
2次曲面- これらは、直交座標系で 2 次の代数方程式によって決定される表面です。
1. 楕円。
楕円体は、特定の直交座標系で次の方程式によって定義される面です。:式(1)は次のように呼ばれます。 楕円体の正準方程式。
楕円体の幾何学的形状を確立しましょう。 これを行うには、この楕円体の平面に平行な平面による断面を考慮します。 オキシー。これらの各平面は、次の形式の方程式によって決定されます。 z=h、 どこ h– 任意の数値。セクションで得られる直線は 2 つの方程式によって決定されます。
(2)さまざまな値について式 (2) を調べてみましょう h .
> c(c>0) の場合、方程式 (2) は仮想楕円、つまり平面の交点を定義します。 z=hこの楕円体には存在しません。 、 それ そして線 (2) は点 (0; 0; +) に縮退します。 c) と (0; 0; - c) (平面は楕円体に接触します)。 とすると、方程式 (2) は次のように表すことができます。したがって、飛行機は z=h半軸の楕円に沿って楕円体と交差します
そして 。 と の値が減少すると、それらは増加し、 で、つまり座標面による楕円体の断面で最高値に達します。 オキシ半軸を持つ最大の楕円が得られます。与えられた表面が座標平面に平行な平面と交差する場合にも、同様の画像が得られます。 オックスそして オイズ.
したがって、考慮された断面により、楕円体を閉じた楕円面として描くことが可能になります (図 156)。 量 a、b、c呼ばれています アクスルシャフト楕円。 いつ a=b=c楕円体は スフィロ番目.
2. シングルストリップ双曲面。
単一ストリップ双曲面は、直交座標系で次の方程式によって定義される面です。 (3)式 (3) は、単一ストリップ双曲面の正準方程式と呼ばれます。
(3) 面の種類を設定しましょう。 これを行うには、座標平面の一部を考慮します。 オキシ (y=0)そしてオイクス(x=0)。したがって、次の方程式が得られます。
そして次に、座標平面に平行な平面 z=h によるこの双曲面の断面を考えます。 オキシ. セクション内の結果の線は、次の方程式によって決定されます。
または (4)このことから、平面 z=h は半軸の楕円に沿って双曲面と交差することがわかります。
そして 、h=0 で最低値に達します。つまり、 この双曲面の断面では、座標軸 Oxy は半軸 a*=a および b*=b を持つ最小の楕円を生成します。 無限増加で
量 a* と b* は無限に増加します。したがって、考慮された断面により、無限のチューブの形で単一ストリップ双曲面を描写することが可能になり、Oxy 平面から遠ざかるにつれて (両側で) 無限に拡張します。
量 a、b、c は、単一ストリップ双曲面の半軸と呼ばれます。
3. 2 枚の双曲面。
2 枚双曲面は、直交座標系で次の方程式によって定義される面です。
式(5)は2枚双曲面の正準方程式と呼ばれます。
表面の幾何学的外観を確立しましょう (5)。 これを行うには、座標平面 Oxy と Oyz による断面を考慮します。 したがって、次の方程式が得られます。
そしてこれから、双曲線がセクションで得られることがわかります。
次に、座標平面 Oxy に平行な平面 z=h によるこの双曲面の断面を考えます。 セクションで得られる直線は次の方程式によって決定されます。
または (6)そこから、いつ
>c (c>0) 平面 z=h は、半軸 と をもつ楕円に沿って双曲面と交差します。 a* と b* の値が増加すると、それらも増加します。 方程式 (6) は、(0;0;+с) と (0;0;-с) の 2 つの点の座標のみによって満たされます (平面は指定された表面に接触します)。 方程式 (6) は仮想楕円を定義します。 z=h 平面とこの双曲面との交点はありません。量 a、b、c は、2 枚双曲面の半軸と呼ばれます。
4. 楕円放物面。
楕円放物面は、ある直交座標系で次の方程式によって定義される面です。
(7)ここで、p>0 および q>0。
式(7)は楕円放物面の正準方程式と呼ばれます。
この表面の断面を座標平面 Oxy と Oyz で考えてみましょう。 したがって、次の方程式が得られます。
そしてこのことから、断面は原点に頂点を持つオズ軸に関して対称な放物線を生成することがわかります。 (8)
ここから、 でのことがわかります。 h が増加すると、a と b の値も増加します。 h=0 では、楕円は点に縮退します (平面 z=0 は指定された双曲面に接触します)。 時<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.
したがって、考慮された断面により、無限に凸のボウルの形で楕円放物面を描くことが可能になります。
点 (0;0;0) は放物面の頂点と呼ばれます。 数値 p と q はそのパラメータです。
p=q の場合、式 (8) は Oz 軸上に中心を持つ円を定義します。 楕円放物面は、放物線がその軸の周りを回転することによって形成される面 (回転放物面) と考えることができます。
5. 双曲放物面。
双曲放物面は、ある直交座標系で次の方程式によって定義される面です。
(9)記事の内容
円錐曲線、直円錐をその頂点を通らない平面で交わることで得られる平坦な曲線(図1)。 解析幾何学の観点から見ると、円錐断面は 2 次方程式を満たす点の軌跡です。 前のセクションで説明した縮退の場合を除き、円錐曲線は楕円、双曲線、または放物線です。
円錐曲線は自然界やテクノロジーの中でよく見られます。 たとえば、太陽の周りを公転する惑星の軌道は楕円のような形をしています。 円は、長軸が短軸と等しい楕円の特殊なケースです。 放物面鏡には、その軸に平行なすべての入射光線が 1 点 (焦点) に集まるという特性があります。 これは、放物面鏡を使用するほとんどの反射望遠鏡だけでなく、放物面反射鏡を備えたレーダー アンテナや特殊なマイクでも使用されます。 平行光線のビームが放物面反射鏡の焦点に置かれた光源から発せられます。 そのため、放物面鏡は高出力のスポットライトや車のヘッドライトに使用されています。 双曲線は、ボイルの法則 (理想気体の圧力と体積に関する) や定電圧での抵抗の関数として電流を定義するオームの法則など、多くの重要な物理的関係を表すグラフです。
初期の歴史
円錐曲線の発見者は、プラトンの生徒でありアレクサンダー大王の教師であったメナクムス (紀元前 4 世紀) であると考えられています。 Menaechmus は、立方体の 2 倍の問題を解決するために放物線と正双曲線を使用しました。
4 世紀末にアリステウスとユークリッドによって書かれた円錐曲線に関する論文。 紀元前は失われていますが、その資料は有名な文献に含まれています。 円錐曲線ペルガのアポロニウス (紀元前 260 ~ 170 年頃)、今日まで生き残っています。 アポロニウスは、円錐の母線の割面が垂直であるという要件を放棄し、その傾斜角度を変えることによって、直線または傾斜した 1 つの円錐からすべての円錐断面を取得しました。 また、楕円、放物線、双曲線といった曲線の現代的な名前もアポロニウスのおかげです。
アポロニウスは、その構築において (図 1 のような) 2 枚の円錐を使用したため、双曲線が 2 つの枝を持つ曲線であることが初めて明らかになりました。 アポロニウスの時代以来、円錐断面は、円錐の母線に対する切断面の傾きに応じて 3 つのタイプに分類されてきました。 楕円 (図 1、 あ) 切断面が、その空洞の 1 つの点で円錐のすべての母線と交差するときに形成されます。 放物線 (図 1、 b) – 切断面が円錐の接平面の 1 つと平行な場合。 双曲線 (図 1、 V) – 切断面が円錐の両方の空洞と交差するとき。
円錐断面の構築
古代ギリシャの数学者は、円錐断面を平面と円錐の交点として研究し、平面上の点の軌跡ともみなしました。 楕円は点の軌跡として定義でき、指定された 2 つの点までの距離の合計は一定であることがわかりました。 放物線 - 指定された点および指定された直線から等距離にある点の軌跡として。 双曲線 - 点の軌跡として、指定された 2 つの点からの距離の差が一定です。
平面曲線としての円錐断面のこれらの定義は、引き伸ばされたストリングを使用して円錐断面を構築する方法も示唆しています。
楕円。
一定の長さの糸の端を点で固定した場合 F 1と F 2 (図 2) の場合、しっかりと張られた糸に沿って滑る鉛筆の先端によって描かれる曲線は、楕円の形状になります。 ポイント F 1と F 2 は楕円の焦点と呼ばれ、セグメントは V 1 V 2と v 1 v 2 楕円と座標軸、つまり長軸と短軸の交点の間。 ポイントの場合 F 1と F 2が一致すると、楕円は円に変わります。
双曲線。
双曲線を作成するときのポイントは、 P鉛筆の先端は糸に固定されており、点に取り付けられたペグに沿って自由にスライドします。 F 1と F 2、図に示すように。 3、 あ。 距離は、セグメントが PF 2 はセグメントよりも長いです PF距離より一定量小さい1 F 1 F 2. この場合、糸の一端がペグの下を通過します。 F 1 そして糸の両端がペグの上を通過します F 2. (鉛筆の先端が糸に沿って滑ってはいけません。そのため、糸に小さな輪を作り、そこに鉛筆の先端を通して、鉛筆を固定する必要があります。) 双曲線の 1 つの枝 ( PV 1 Q) 糸が常にピンと張った状態にあることを確認し、糸の両端を点を超えて下に引っ張りながら描きます。 F 2 そしていつのポイント Pセグメントの下になります F 1 F 2、糸の両端を持ち、慎重にエッチング(つまりリリース)します。 双曲線の 2 番目の枝 ( Pў V 2 Qў ) ペグの役割を事前に交換して描画します F 1と F 2 .
双曲線の枝は、枝の間で交差する 2 つの直線に近づきます。 双曲線の漸近線と呼ばれるこれらの線は、図に示すように構成されます。 3、 b。 これらの直線の角度係数は ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2) ここで、 v 1 v 2 – 線分に垂直な、漸近線間の角度の二等分線の線分 F 1 F 2 ; 線分 v 1 v 2 は双曲線の共役軸と呼ばれ、線分は V 1 V 2 – 横軸。 したがって、漸近線は 4 つの点を通る辺を持つ長方形の対角線です。 v 1 , v 2 , V 1 , V2は軸に平行である。 この長方形を作成するには、点の位置を指定する必要があります。 v 1と v 2. 彼らは同じ距離にあり、等しいです
軸の交点から ○。 この公式には、足のある直角三角形の構築が含まれます。 終わり 1と V 2 ○と斜辺 F 2 ○.
双曲線の漸近線が相互に垂直である場合、その双曲線は等辺と呼ばれます。 共通の漸近線を持つが、横軸と共役軸が再配置された 2 つの双曲線は、相互共役と呼ばれます。
放物線。
楕円と双曲線の焦点はアポロニウスに知られていましたが、放物線の焦点はパップス (3 世紀後半) によって最初に確立されたと思われます。パップスは、この曲線を特定の点 (焦点) から等距離にある点の軌跡として定義しました。そして、ディレクターと呼ばれる特定の直線。 パプスの定義に基づいて、引き伸ばされた糸を使用した放物線の構築は、ミレトスのイシドール (6 世紀) によって提案されました。 定規の端が準線と一致するように定規を配置します。 LLў (図 4)、この端に脚を当てます。 交流。三角形を描く ABC。 糸の一端をある長さで固定します AB頂点で B三角形、もう 1 つは放物線の焦点にあります F。 鉛筆の先を使って糸を伸ばし、可変点で先端を押します。 P自由な脚に AB三角形を描く。 三角形が定規に沿って移動すると、点が P焦点を当てた放物線の弧を描きます Fそして校長 LLў 、ねじの全長は AB、糸の部分が三角形の自由脚に隣接しているため、残りの糸の部分が PF脚の残りの部分と等しくなければなりません AB、つまり PA。 交点 V軸のある放物線は放物線の頂点と呼ばれ、その線を通ります。 Fそして V, – 放物線の軸。 焦点を通って軸に垂直に直線を引く場合、放物線によって切り取られたこの直線のセグメントは焦点パラメーターと呼ばれます。 楕円と双曲線についても、焦点パラメータは同様に決定されます。
円錐断面の性質
パプスの定義。
放物線の焦点を確立することで、パップスは円錐曲線一般の別の定義を与えるというアイデアを思いつきました。 させて Fは指定された点 (焦点) であり、 L– 指定された直線 (準線) が通過しない F、 そして D Fそして DL– 移動点からの距離 P集中する Fそして校長たち Lそれぞれ。 次に、パップスが示したように、円錐断面は点の軌跡として定義されます。 P、その関係 D F/DLは負ではない定数です。 この比率を偏心率といいます e円錐形のセクション。 で e e > 1 – 双曲線。 で e= 1 – 放物線。 もし F上に横たわる Lの場合、幾何学的軌跡は直線 (実数または虚数) の形を持ち、これは縮退した円錐断面になります。
楕円と双曲線の驚くべき対称性は、これらの曲線のそれぞれに 2 つの準線と 2 つの焦点があることを示唆しており、この状況から 1604 年にケプラーは、放物線にも 2 番目の焦点と 2 番目の準線、つまり無限遠の直線があるという考えに至りました。 。 同様に、円は楕円とみなすことができ、その焦点は中心と一致し、準線は無限遠にあります。 偏心 eこの場合はゼロに等しい。
ダンデレンデザイン。
円錐断面の焦点と準線は、円錐に内接する球を使用することで明確に示すことができます。この球は、次の構成を提案したベルギーの数学者および技術者の J. Dandelin (1794 ~ 1847) にちなんでダンデリン球 (ボール) と呼ばれます。 ある平面の交差によって円錐断面が形成されるとします p頂点が点にある 2 つの空洞を持つ真っ直ぐな円錐形 ○。 この円錐に 2 つの球を内接させてみましょう S 1と S 2 飛行機に接触する p点で F 1と Fそれぞれ2。 円錐断面が楕円の場合 (図 5、 あ)、両方の球が同じ空洞内にある場合、一方の球は平面の上に位置します。 p、もう1つはその下にあります。 円錐の各母線は両方の球に接触し、その接触点の軌跡は 2 つの円のように見えます。 C 1と C 2 つは平行な面にあります p 1と p 2. させて P– 円錐曲線上の任意の点。 直線を引いてみましょう PF 1 , PF 2 そして直線を延長します 私書箱。 これらの線は点で球に接しています F 1 , F 2と R 1 , R 2. 1 つの点から球に引かれた接線はすべて等しいため、次のようになります。 PF 1 = PR 1と PF 2 = PR 2. したがって、 PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2. 飛行機以来 p 1と p 2 つの平行な線分 R 1 R 2は一定の長さです。 したがって、値は PR 1 + PR 2 はすべての点の位置で同じです P、そしてポイント Pからの距離の合計が次の点の幾何学的軌跡に属します。 P前に F 1と F 2は定数です。 したがって、ポイントは、 F 1と F 2 – 楕円断面の焦点。 さらに、平面が沿う直線は、 p平面と交差します p 1と p 2 は、構築された楕円の準線です。 もし p円錐の両方の空洞と交差します (図 5、 b)、2 つのタンデリン球が平面の同じ側にあります。 p、円錐の各空洞に 1 つの球。 この場合、次の違いは、 PF 1と PF 2 は定数であり、点の軌跡 P焦点のある双曲線の形状をしています F 1と F 2と直線~交線 pと p 1と p 2 – 校長として。 図のように円錐断面が放物線の場合、 5、 V、その場合、タンデリン球は 1 つだけ円錐内に内接することができます。
その他のプロパティ。
円錐曲線の特性はまさに無尽蔵であり、そのどれもが定義するものとみなすことができます。 大切な場所 数学会議パッパ(約300)、 ジオメトリデカルト (1637) と 始まり Newton (1687) は、4 つの直線に対する点の幾何学的位置の問題に取り組みました。 平面上に4本の線が与えられた場合 L 1 , L 2 , L 3と L 4 (そのうち 2 つは同じである可能性があります) とピリオド Pからの距離の積は P前に L 1と L 2 はからの距離の積に比例します。 P前に L 3と L 4、次に点の軌跡 P円錐断面です。 アポロニウスとパップスが 4 つの直線に関する点の軌跡の問題を解決できないと誤って信じていたデカルトは、解を得てそれを一般化するために解析幾何学を作成しました。
分析的アプローチ
代数的分類。
代数用語では、円錐断面は、デカルト座標系の座標が 2 次の方程式を満たす平面曲線として定義できます。 言い換えれば、すべての円錐曲線の方程式は一般形式で次のように書くことができます。
すべての係数ではない場合 あ, Bそして Cはゼロに等しい。 平行移動と軸の回転を使用すると、方程式 (1) は次の形式に簡略化できます。
斧 2 + による 2 + c = 0
ピクセル 2 + やあ = 0.
最初の式は式 (1) から次のように得られます。 B 2 № 交流。、2番目 – で B 2 = 交流。。 方程式が最初の形式に縮小される円錐曲線は中心と呼ばれます。 2 番目のタイプの方程式で与えられる円錐曲線 q No.0は非中心と呼ばれます。 これら 2 つのカテゴリ内には、係数の符号に応じて 9 つの異なるタイプの円錐曲線があります。
2831) 確率が高い場合 ある, bそして cの符号が同じである場合、その座標が方程式を満たす実際の点は存在しません。 このような円錐断面は仮想楕円 (または仮想円の場合) と呼ばれます。 ある = b).
2) もし あるそして b同じ符号を持っており、 c– 逆の場合、円錐断面は楕円になります (図 1、 あ); で ある = b– 円 (図 6、 b).
3) もし あるそして b符号が異なる場合、円錐曲線は双曲線になります (図 1、 V).
4) もし あるそして bさまざまな兆候があり、 c= 0 の場合、円錐断面は 2 本の交差する線で構成されます (図 6、 あ).
5) もし あるそして b同じ符号を持っており、 c= 0 の場合、方程式を満たす実際の点は曲線上に 1 つだけあり、円錐断面は 2 本の仮想の交差線になります。 この場合、点に縮小された楕円についても話します。 ある = b、円上の点に収縮します (図 6、 b).
6) いずれかの場合 ある、 または bがゼロに等しく、残りの係数の符号が異なる場合、円錐曲線は 2 本の平行線で構成されます。
7) 次のいずれかの場合 ある、 または bがゼロに等しく、残りの係数が同じ符号を持つ場合、方程式を満たす実数点は 1 つも存在しません。 この場合、円錐断面は 2 本の仮想の平行線で構成されると言われます。
8) もし c= 0、または次のいずれか ある、 または bもゼロに等しい場合、円錐曲線は 2 本の実際の一致する線で構成されます。 (この方程式では、次の円錐断面が定義されていません。 ある = b= 0 (この場合、元の式 (1) は 2 次のものではないため)。
9) 2 番目のタイプの方程式は放物線を定義します。 pそして qゼロとは違います。 もし p No.0、a q= 0 の場合、ステップ 8 から曲線を取得します。 p= 0 の場合、元の方程式 (1) は 2 次ではないため、方程式は円錐曲線を定義しません。
円錐曲線の方程式の導出。
任意の円錐断面は、平面が二次曲面と交差する曲線として定義することもできます。 2次方程式で与えられる曲面を使用 f (バツ, y, z) = 0。どうやら、円錐曲線は最初にこの形式で認識され、その名前は ( 以下を参照してください) は、平面と円錐を交差させることによって得られたという事実によるものです。 z 2 = バツ 2 + y 2. させて あいうえお– 頂点が直角になっている直円錐の底部 (図 7) V。 飛行機に乗らせて FDC母線と交差します VB時点で F、ベース – 直線上 CDそして円錐の表面 - 曲線に沿って DFPC、 どこ P– 曲線上の任意の点。 セグメントの真ん中を通って描画しましょう CD- ポイント E- 真っ直ぐ E.F.と直径 AB。 ポイントを通して P円錐と円で交差する、円錐の底面に平行な平面を描きます。 RPSそして直接 E.F.時点で Q。 それから 準々決勝そして QPしたがって、横軸として取ることができます バツそして縦座標 yポイント P。 結果として得られる曲線は放物線になります。
図に示す構造です。 図7を使用して、円錐断面の一般方程式を導出することができる。 直径の任意の点から円との交点まで復元された垂直セグメントの長さの二乗は、常に直径セグメントの長さの積に等しくなります。 それが理由です
y 2 = RQ H QS.
放物線、線分の場合 RQ一定の長さになります(点のどの位置でも Pそれはセグメントに等しい A.E.)、セグメントの長さ QS比例 バツ(比率より QS/E.B. = 準々決勝/FE)。 したがって、
どこ ある– 定数係数。 番号 ある放物線の焦点パラメータの長さを表します。
円錐の頂点の角度が鋭角の場合、セグメントは RQセグメントと等しくない A.E.; しかし比率は y 2 = RQ H QS次の形式の方程式と等価です
どこ あるそして b– 定数、または軸をシフトした後、方程式に
これは楕円の方程式です。 楕円と軸の交点 バツ (バツ = あるそして バツ = –ある) と楕円と軸の交点 y (y = bそして y = –b) はそれぞれ長軸と短軸を定義します。 円錐の頂点の角度が鈍角である場合、円錐と平面の交差曲線は双曲線の形になり、方程式は次の形になります。
または、軸を移動した後、
この場合、軸との交点は バツ、関係によって与えられます バツ 2 = ある 2、横軸とその軸との交点を決定します。 y、関係によって与えられます y 2 = –b 2、共役軸を決定します。 一定の場合 あるそして b式 (4a) の が等しい場合、双曲線は等辺と呼ばれます。 軸を回転させると、その方程式は次の形式に簡略化されます。
xy = k.
ここで、方程式 (3)、(2)、および (4) から、アポロニウスが 3 つの主要な円錐曲線に付けた名前の意味を理解できます。 「楕円」、「放物線」、「双曲線」という用語は、「不十分な」、「等しい」、「優れた」を意味するギリシャ語に由来しています。 方程式 (3)、(2)、および (4) から、楕円については次のことが明らかです。 y 2b2/ ある) バツ、放物線の場合 y 2 = (ある) バツそして誇張のために y 2 > (2b 2 /ある) バツ。 いずれの場合も、括弧で囲まれた値は、曲線の焦点パラメーターと等しくなります。
アポロニウス自身は、円錐曲線の一般的なタイプを 3 つだけ考慮しました (上記のタイプ 2、3、および 9) が、彼のアプローチはすべての実 2 次曲線を考慮するように一般化できます。 切断面が円錐の円形底面に平行に選択された場合、断面は円になります。 切断面に円錐との共通点、つまりその頂点が 1 つだけある場合、タイプ 5 の断面が得られます。 頂点と円錐の接線が含まれている場合、タイプ 8 のセクションが得られます (図 6、 b); 切断面に円錐の 2 つの母線が含まれている場合、その断面はタイプ 4 の曲線を生成します (図 6、 あ); 頂点が無限遠に転送されると、円錐は円柱に変わり、平面に 2 つの母線が含まれる場合、タイプ 6 の断面が得られます。
円を斜めから見ると楕円に見えます。 アルキメデスが知っていた円と楕円の関係は、円が次の場合に明らかになります。 バツ 2 + Y 2 = ある 2 置換を使用する バツ = バツ, Y = (ある/b) y式(3a)で与えられる楕円に変換します。 変換 バツ = バツ, Y = (あい/b) y、 どこ 私 2 = –1 なので、円の方程式を (4a) の形式で書くことができます。 これは、双曲線が仮想の短軸を持つ楕円として見ることができること、または逆に、楕円が仮想の共役軸を持つ双曲線として見ることができることを示しています。
円の座標間の関係 バツ 2 + y 2 = ある 2 と楕円 ( バツ 2 /ある 2) + (y 2 /b 2) = 1 はアルキメデスの公式に直接つながります。 あ = 腹部楕円の面積について。 ケプラーは近似式を知っていた p(ある + b) 円に近い楕円の周長を表しますが、正確な表現が得られたのは 18 世紀になってからです。 楕円積分の導入後。 アルキメデスが示したように、放物線の面積は内接三角形の面積の 3 分の 4 ですが、放物線の弧の長さは 17 世紀以降にしか計算できませんでした。 微分積分学が発明されました。
予測的アプローチ
射影幾何学は遠近法の構築と密接に関係しています。 透明な紙に円を描いて光源の下に置くと、この円は下の平面に投影されます。 また、光源が円の中心の真上にあり、平面と透明シートが平行であれば、投影も円になります(図8)。 光源の位置を消失点といいます。 文字で示されています V。 もし Vが円の中心より上に位置していない場合、または平面が紙に平行でない場合、円の投影は楕円の形状になります。 平面の傾きがさらに大きくなると、楕円の長軸(円の投影)が長くなり、楕円は徐々に放物線に変わっていきます。 直線に平行な平面上で 副社長、投影は放物線の形をしています。 さらに傾きが大きい場合、投影は双曲線の枝の 1 つの形になります。
元の円上の各点は、投影上の特定の点に対応します。 投影が放物線または双曲線の形をしている場合、その点に対応する点は、 P、無限遠または無限遠にあります。
これまで見てきたように、消失点を適切に選択すると、円をさまざまなサイズとさまざまな離心率の楕円に投影できます。また、長軸の長さは投影された円の直径に直接関係しません。 したがって、射影幾何学は距離や長さそのものを扱うのではなく、その任務は投影中に保存される長さの比率を研究することです。 この関係は、次の構造を使用して求めることができます。 どの点でも P平面上で任意の円に 2 つの接線を描き、その接点を直線で結びます。 p。 別の線が点を通るようにします P、点で円と交差します C 1と C 2 そしてストレート p- その時点で Q(図9)。 面積測定では次のことが証明されています パソコン 1 /パソコン 2 = –品質管理 1 /品質管理 2. (マイナス記号は、セグメントの方向が異なるため発生します。 品質管理 1 は他のセグメントの方向と逆になります。)つまり、点 Pそして Qセグメントを分割する C 1 C 2 外部と内部で同じ点で。 また、4 つのセグメントの調和比は - 1 に等しいとも言います。円が円錐断面に投影され、対応する点に同じ表記が保持される場合、調和比 ( パソコン 1)(品質管理 2)/(パソコン 2)(品質管理 1) は - 1 のままになります。 ポイント Pラインポールと呼ばれる p円錐断面と直線に対して p– 極点 P円錐断面に対して。
ポイントのとき P円錐断面に近づくと、極は接線の位置をとる傾向があります。 ポイントの場合 P円錐断面上にある場合、その極はその点での円錐断面の接線と一致します。 P。 ポイントなら Pが円錐断面の内側にある場合、その極は次のように構築できます。 ポイントを押さえて描きましょう P円錐断面を 2 点で交差する直線。 円錐断面の交点に接線を引きます。 これらの接線が点で交差すると仮定します P 1. ポイントを押さえて描きましょう P他の 2 点で円錐断面と交差する別の直線。 これらの新しい点における円錐断面の接線が点で交差すると仮定します。 P2(図10)。 点を通る線 P 1と P 2 、目的の極性があります p。 ポイントなら P中心に近づく ○中央円錐セクション、次に極 pから遠ざかる ○。 ポイントのとき Pと一致する ○、その後、その極は無限に遠くなり、理想的には平面上に真っ直ぐになります。
特別な建物
天文学者にとって特に興味深いのは、コンパスと定規を使用した次のような簡単な楕円点の構築です。 点を通る任意の直線を通す ○(図11、 あ)、点で交差します Qそして Rある点を中心とする 2 つの同心円 ○と半径 bそして ある、 どこ ba. ポイントを押さえて描きましょう Q水平線と貫通 R– 垂直線、それらの交点を示します P P直線を回転させるとき OQRポイントの周り ○楕円があるでしょう。 コーナー f直線の間 OQR長軸は偏心角と呼ばれ、作成された楕円はパラメトリック方程式によって簡単に指定できます。 バツ = あるコス f, y = b罪 f。 パラメータを除く f、式 (3a) が得られます。
双曲線の場合、構造はほぼ同様です。 点を通る任意の直線 ○、2 つの円のうちの 1 つと点で交差します。 R(図11、 b)。 ポイントへ R一周して終点まで S別の円の水平直径、交差する接線を描きます OS時点で Tそして または- その時点で Q。 点を通る垂直線を引く Tとその点を通る水平線 Q、点で交差します P。 次に、点の軌跡 Pセグメントを回転するとき またはその周り ○パラメトリック方程式で与えられる双曲線になります バツ = ある秒 f, y = b tg f、 どこ f– 偏心角。 これらの方程式は、フランスの数学者 A. ルジャンドル (1752 ~ 1833 年) によって得られました。 パラメータを除外することで f、式 (4a) が得られます。
N. コペルニクス (1473–1543) が指摘したように、楕円は周転運動を使用して構築できます。 円が直径の 2 倍の別の円の内側に沿って滑らずに転がる場合、各点は P、小さい方の円上にありませんが、それに対して静止しているものは、楕円を表します。 ポイントなら Pが小さい円上にある場合、この点の軌道は楕円 (大きい方の円の直径) の縮退ケースになります。 さらに単純な楕円の構成は、5 世紀にプロクロスによって提案されました。 終わりなら あそして B線分 AB指定された長さの 2 つの固定交差直線に沿って (たとえば、座標軸に沿って) スライドし、各内部点を移動します。 Pセグメントは楕円を描きます。 オランダの数学者 F. van Schooten (1615–1660) は、スライド セグメントに対して固定された、交差する線の平面内の任意の点も楕円を描くことを示しました。
B. パスカル (1623 ~ 1662 年) は 16 歳で、現在有名なパスカルの定理を定式化しました。この定理では、円錐断面に内接する六角形の対辺の 3 つの交点は同じ直線上にあります。 パスカルはこの定理から 400 以上の帰結を導き出しました。
学生は 1 年目に 2 次曲面に遭遇することがほとんどです。 最初は、このトピックに関する問題は単純に見えるかもしれませんが、高等数学を学び、科学的な側面を深く掘り下げていくと、最終的には何が起こっているのかわからなくなることがあります。 このようなことが起こらないようにするには、単に暗記するだけでなく、特定の表面がどのように取得されるか、係数の変更がその表面と元の座標系に対するその位置にどのような影響を与えるか、新しいシステム (1 つの座標系) を見つける方法を理解する必要があります。その中心は原点座標と一致しますが、座標軸の 1 つと平行です)。 最初から始めましょう。
意味
2 次曲面は GMT と呼ばれ、その座標は次の形式の一般方程式を満たします。
表面に属する各点は、何らかの指定された基底で 3 つの座標を持たなければならないことは明らかです。 ただし、場合によっては、点の軌跡が平面などに縮退することもあります。 これは、座標の 1 つが、許容値の全範囲にわたって一定であり、ゼロに等しいことを意味するだけです。
上記の等式を完全に記述した形式は次のようになります。
A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0。
nm は定数、x、y、z は点のアフィン座標に対応する変数です。 この場合、定数因数の少なくとも 1 つはゼロに等しくてはなりません。つまり、方程式に対応する点があってはなりません。
ほとんどの例では、多くの数値因子は依然としてゼロに等しく、方程式は大幅に簡略化されています。 実際には、点が表面に属しているかどうかを判断することは難しくありません (その座標を方程式に代入し、恒等性が維持されるかどうかを確認するだけで十分です)。 このような作業における重要な点は、後者を標準的な形式にすることです。
上に書かれた方程式は、任意の (以下にリストされているすべての) 2 次曲面を定義します。 以下に例を見てみましょう。
2次曲面の種類
2 次面の方程式は、係数 A nm の値のみが異なります。 一般的な形式から、定数の特定の値でさまざまな表面を取得でき、次のように分類されます。
- シリンダー。
- 楕円形タイプ。
- 双曲型。
- 円錐形タイプ。
- パラボラタイプ。
- 飛行機。
リストされたタイプのそれぞれには、自然な形式と虚数形式があります。虚数形式では、実点の軌跡はより単純な図形に縮退するか、まったく存在しません。
シリンダー
これは最も単純なタイプで、比較的複雑な曲線は基部のみにあり、ガイドとして機能します。 母線は、ベースが存在する平面に垂直な直線です。
このグラフは、楕円柱の特殊なケースである円柱を示しています。 XY 平面では、ジェネレーターが Z 軸に平行であるため、その投影は楕円 (この場合は円) - ガイドになり、XZ では - 長方形になります。一般方程式からそれを取得するには、次のようになります。係数に次の値を与える必要があります。
通常の表記 x、y、z の代わりに、シリアル番号が付いた x が使用されますが、これには何の意味もありません。
実際、ここで示されている 1/a 2 およびその他の定数は、一般方程式で示されている係数と同じですが、この形式で正確に記述するのが通例です。これが正規表現です。 以下では、このエントリのみが使用されます。
これにより双曲円柱が定義されます。 スキームは同じです - 誇張がガイドになります。
放物線円柱の定義は少し異なります。その正準形式には、パラメータと呼ばれる係数 p が含まれています。 実際には、係数は q=2p ですが、提示された 2 つの係数に分割するのが通例です。
別のタイプのシリンダー、つまり想像上のシリンダーもあります。 このような円柱には実際の点は属しません。 これは楕円柱の方程式で記述されますが、1 の代わりに -1 があります。
楕円形
楕円体は、軸の 1 つに沿って引き伸ばすことができます (軸に沿って、上で示した定数 a、b、c の値に依存します。明らかに、軸が大きいほど、係数も大きくなります)。
架空の楕円体もあります。ただし、座標に係数を乗算した値の合計が -1 に等しいとします。
双曲面
定数のいずれかにマイナスが現れると、楕円体の方程式は一枚双曲面の方程式になります。 このマイナスは x3 座標の前にある必要はないことを理解する必要があります。 これは、どの軸が双曲面の回転軸になるか (またはそれに平行するか) を決定するだけです。追加の項が正方形に現れると (たとえば、(x-2) 2)、図の中心が次のように移動します。その結果、表面は座標軸に平行に移動します)。 これはすべての 2 次曲面に当てはまります。
さらに、方程式は標準形式で示されており、(符号を維持しながら) 定数を変更することで変更できることを理解する必要があります。 同時に、その外観 (双曲面、円錐など) は変わりません。
このような方程式は二枚双曲面で与えられます。
円錐面
円錐方程式には単一性はなく、ゼロに等しいです。
限られた円錐面のみを円錐と呼びます。 下の図は、実際には、チャート上にいわゆるコーンが 2 つあることを示しています。
重要な注意事項: 考慮されるすべての正準方程式では、定数はデフォルトで正であると想定されます。 そうしないと、符号が最終的なグラフに影響を与える可能性があります。
座標面は円錐の対称面となり、対称の中心は原点に位置します。
想像上の円錐の方程式にはプラスしかありません。 それは 1 つの実際のポイントを所有します。
放物面
空間内の次数 2 の表面は、同様の方程式であっても異なる形状をとることがあります。 たとえば、放物面には 2 つのタイプがあります。
x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z
楕円放物面は、Z 軸が図面に垂直な場合、楕円に投影されます。
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z
双曲放物面: ZY に平行な平面を持つ断面では放物線が得られ、XY に平行な平面を持つ断面では双曲線が得られます。
交差する平面
2次曲面が平面内で縮退する場合があります。 これらの平面はさまざまな方法で配置できます。
まず、交差する平面を見てみましょう。
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0
正準方程式をこのように変更すると、単純に 2 つの交差する平面が得られます (想像上のものです!)。 すべての実数点は、方程式に存在しない座標軸 (標準座標系 - Z 軸) 上にあります。
平行面
座標が 1 つしかない場合、2 次曲面は一対の平行平面に縮退します。 他の変数をプレーヤーの代わりに使用できることを忘れないでください。 次に、他の軸に平行な平面が取得されます。
この場合、それらは想像上のものになります。
一致する平面
このような単純な方程式では、一対の平面が 1 つに縮退し、一致します。
3 次元基底の場合、上記の方程式は直線 y=0 を指定していないことを忘れないでください。 他の 2 つの変数がありませんが、それは単にそれらの値が定数でゼロに等しいことを意味します。
工事
学生にとって最も難しい課題の 1 つは、まさに 2 次曲面の構築です。 軸に対する曲線の傾斜角度や中心のオフセットを考慮すると、ある座標系から別の座標系に移動することはさらに困難になります。 分析的な方法で図面の将来の外観を一貫して決定する方法を繰り返しましょう。
2 次曲面を構築するには、次のことを行う必要があります。
- 方程式を標準形式にします。
- 研究対象の表面の種類を決定します。
- 係数の値に基づいて構築します。
考慮されるすべてのタイプを以下に示します。
これを強化するために、このタイプのタスクの一例を詳しく説明します。
例
次の方程式があるとします。
3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0
それを正規形式に戻しましょう。 完全な平方を選択しましょう。つまり、和または差の平方を分解したものになるように利用可能な項を配置します。 たとえば、(a+1) 2 =a 2 +2a+1 の場合、a 2 +2a+1=(a+1) 2 となります。 2回目の手術を行います。 この場合、計算が複雑になるだけなので括弧を開く必要はありませんが、共通因数 6 (ゲームの完全な平方を示す括弧内) を削除する必要があります。
3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6
この場合、変数 zet は 1 回だけ表示されます。今のところはそのままにしておいてかまいません。
この段階で方程式を分析しましょう。すべての未知数の前にプラス記号が付いています。 6で割ると1になります。 したがって、楕円体を定義する方程式が目の前にあります。
144 が 150-6 に因数分解され、-6 が右に移動されたことに注目してください。 なぜこのようにしなければならなかったのでしょうか? 明らかに、この例の最大の約数は -6 です。したがって、単位をそれで割った後も右側に残るためには、144 からちょうど 6 を「取っておく」必要があります (単位が右側にある必要があるという事実)右側は、自由項 (未知数に乗算されない定数) の存在によって示されます。
すべてを 6 で割って、楕円体の正準方程式を取得しましょう。
(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1
以前に使用された 2 次曲面の分類では、図形の中心が座標の原点にある場合の特殊なケースが考慮されます。 この例ではオフセットされています。
未知数を含む各括弧は新しい変数であると仮定します。 つまり、a=x-1、b=y+5、c=z。 新しい座標では、楕円体の中心は点 (0,0,0) と一致するため、x=1、y=-5、z=0 から a=b=c=0 となります。 初期座標では、図の中心は点 (1,-5,0) にあります。
楕円体は 2 つの楕円から取得されます。1 つ目は XY 平面にあり、2 つ目は XZ 平面 (または YZ - 関係ありません) にあります。 変数を除算する係数は、正準方程式で二乗されます。 したがって、上記の例では、2 の根、1、3 の根で割るのがより正確です。
Y 軸に平行な最初の楕円の短軸は 2 に等しくなります。 主軸は X 軸に平行です (2 の 2 乗根)。 Y 軸に平行な 2 番目の楕円の短軸は同じままで、2 に等しくなります。 また、Z 軸に平行な長軸は、3 の 2 乗根に等しくなります。
元の方程式を正準形式に変換して得られたデータを使用して、楕円体を描くことができます。
まとめ
この記事で取り上げるトピックは非常に広範囲にわたりますが、実際には、ここまで見てきたように、それほど複雑ではありません。 実際、その開発は、表面の名前と方程式 (そしてもちろん、それらがどのように見えるか) を記憶した瞬間に終了します。 上の例では、各ステップを詳細に検討しましたが、方程式を標準形式にするには、高等数学の最小限の知識が必要であり、学生にとっては問題はありません。
既存の平等に基づいて将来のスケジュールを分析することは、より困難な作業です。 しかし、これをうまく解決するには、対応する 2 次曲線 (楕円、放物線など) がどのように構築されるかを理解するだけで十分です。
変性の場合はさらに単純なセクションです。 いくつかの変数が存在しないため、前述のように計算が簡素化されるだけでなく、構築自体も簡素化されます。
すべてのタイプの表面に自信を持って名前を付け、定数を変更し、グラフを何らかの形に変えることができれば、そのトピックはすぐにマスターされます。
勉強頑張ってください!