पावर फ़ंक्शन, उनके गुण और ग्राफ़। शक्ति तर्कसंगत घातांक के साथ कार्य करती है। समारोह। पावर फ़ंक्शन पावर फ़ंक्शन एक पूर्णांक घातांक के साथ इसका ग्राफ़
ऊर्जा समीकरणप्रपत्र का एक कार्य है वाई = एक्सपी, जहाँ p एक दी गई वास्तविक संख्या है।
पावर फ़ंक्शन के गुण
- यदि सूचक पी = 2एन- सम प्राकृतिक संख्या:
- परिभाषा का क्षेत्र - सभी वास्तविक संख्याएँ, अर्थात समुच्चय R;
- मानों का समुच्चय - गैर-ऋणात्मक संख्याएँ, अर्थात y ≥ 0;
- कार्य सम है;
- फलन अंतराल x ≤ 0 पर घट रहा है और अंतराल x ≥ 0 पर बढ़ रहा है।
- यदि सूचक पी = 2एन - 1- विषम प्राकृतिक संख्या:
- परिभाषा का क्षेत्र - सेट आर;
- मूल्यों का सेट - सेट आर;
- कार्य विषम है;
- फ़ंक्शन संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर बढ़ रहा है।
- यदि सूचक पी = -2एन, कहाँ एन- प्राकृतिक संख्या:
- मानों का समुच्चय - सकारात्मक संख्याएँ y > 0;
- कार्य सम है;
- फलन अंतराल x 0 पर बढ़ रहा है।
- यदि सूचक पी = -(2एन - 1), कहाँ एन- प्राकृतिक संख्या:
- परिभाषा का क्षेत्र - सेट आर, x = 0 को छोड़कर;
- मानों का सेट - सेट आर, y = 0 को छोड़कर;
- कार्य विषम है;
- फलन अंतराल x 0 पर घट रहा है।
- यदि सूचक पी- सकारात्मक वास्तविक गैर-पूर्णांक संख्या:
- परिभाषा का क्षेत्र - गैर-नकारात्मक संख्या x ≥ 0;
- मानों का सेट - गैर-नकारात्मक संख्या y ≥ 0;
- फलन अंतराल x ≥ 0 पर बढ़ रहा है।
- यदि सूचक पी- ऋणात्मक वास्तविक गैर-पूर्णांक संख्या:
- परिभाषा का क्षेत्र - सकारात्मक संख्याएँ x > 0;
- मानों का समुच्चय - सकारात्मक संख्याएँ y > 0;
- फलन अंतराल x > 0 पर घट रहा है।
क्या आप कार्यों से परिचित हैं? y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/xआदि। ये सभी फ़ंक्शन पावर फ़ंक्शन यानी फ़ंक्शन के विशेष मामले हैं y=x पी, जहाँ p एक दी गई वास्तविक संख्या है। पावर फ़ंक्शन के गुण और ग्राफ़ वास्तविक घातांक वाली पावर के गुणों पर और विशेष रूप से उन मानों पर निर्भर करते हैं जिनके लिए एक्सऔर पीडिग्री समझ में आती है एक्स पी. आइए प्रतिपादक के आधार पर विभिन्न मामलों पर समान विचार के लिए आगे बढ़ें पी।
अनुक्रमणिका पी=2एन-सम प्राकृतिक संख्या.
इस मामले में, शक्ति कार्य करती है y=x 2एन, कहाँ एन- एक प्राकृतिक संख्या, निम्नलिखित है
गुण:
परिभाषा का क्षेत्र - सभी वास्तविक संख्याएँ, अर्थात समुच्चय R;
मानों का समुच्चय - गैर-ऋणात्मक संख्याएँ, अर्थात y, 0 से बड़ा या उसके बराबर है;
समारोह y=x 2एनयहां तक कि, क्योंकि एक्स 2एन =(-x) 2एन
अंतराल पर फलन घट रहा है एक्स<0 और अंतराल पर बढ़ रहा है x>0.
किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=x 2एनइसका रूप वही है, उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=x 4 .
2. सूचक पी=2एन-1- विषम प्राकृतिक संख्या इस मामले में, शक्ति समारोह y=x 2एन-1, जहां एक प्राकृतिक संख्या है, निम्नलिखित गुण हैं:
परिभाषा का क्षेत्र - सेट आर;
मूल्यों का सेट - सेट आर;
समारोह y=x 2एन-1अजीब है क्योंकि (- एक्स) 2एन-1 =एक्स 2एन-1 ;
फ़ंक्शन संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर बढ़ रहा है।
किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=x2n-1इसका रूप वही है, उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=x3.
3.सूचक पी=-2एन, कहाँ एन-प्राकृतिक संख्या।
इस मामले में, शक्ति कार्य करती है y=x -2एन =1/x 2एन निम्नलिखित गुण हैं:
मानों का सेट - सकारात्मक संख्याएँ y>0;
फ़ंक्शन y =1/x 2एनयहां तक कि, क्योंकि 1/(-x) 2एन =1/x 2एन ;
फलन अंतराल x पर बढ़ रहा है<0 и убывающей на промежутке x>0.
फ़ंक्शन का ग्राफ़ y =1/x 2एनइसका रूप वही है, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y का ग्राफ़ =1/x 2 .
4.सूचक p=-(2n-1), कहाँ एन- प्राकृतिक संख्या। इस मामले में, शक्ति कार्य करती है y=x -(2एन-1)निम्नलिखित गुण हैं:
परिभाषा का क्षेत्र - सेट आर, x=0 को छोड़कर;
मानों का सेट - सेट आर, y=0 को छोड़कर;
समारोह y=x -(2एन-1)अजीब है क्योंकि (- एक्स) -(2एन-1) =-एक्स -(2एन-1) ;
फ़ंक्शन अंतराल पर घट रहा है एक्स<0 और x>0.
किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=x -(2एन-1)इसका रूप वही है, उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=1/x 3 .
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन, उनके गुण और ग्राफ़।
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन, उनके गुण और ग्राफ़।व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन (गोलाकार कार्य, चाप कार्य) - गणितीय कार्य जो त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्क्रम हैं।
आर्क्सिन फ़ंक्शन
किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ .
आर्कसीननंबर एमइस कोण मान को कहा जाता है एक्स, जिसके लिए
फ़ंक्शन सतत है और इसकी संपूर्ण संख्या रेखा के साथ घिरा हुआ है। समारोह सख्ती से बढ़ रहा है.
[संपादित करें]आर्क्सिन फ़ंक्शन के गुण
[संपादित करें] आर्क्सिन फ़ंक्शन प्राप्त करना
पूरे समारोह को देखते हुए परिभाषा का क्षेत्रवह होती है टुकड़े-टुकड़े एकरस, और, इसलिए, उलटा पत्राचार कोई फ़ंक्शन नहीं है. इसलिए, हम उस खंड पर विचार करेंगे जिस पर यह सख्ती से बढ़ता है और सभी मूल्यों को ग्रहण करता है मूल्यों की श्रृंखला- . चूँकि किसी अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के लिए तर्क का प्रत्येक मान फ़ंक्शन के एकल मान से मेल खाता है, तो इस अंतराल पर होता है उलटा काम करना जिसका ग्राफ़ एक सीधी रेखा के सापेक्ष किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के सममित है
पावर फ़ंक्शन y = x p की परिभाषा के क्षेत्र में निम्नलिखित सूत्र लागू होते हैं:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
पावर फ़ंक्शंस के गुण और उनके ग्राफ़
शून्य के बराबर घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन, पी = 0
यदि पावर फ़ंक्शन y = x p का घातांक शून्य, p = 0 के बराबर है, तो पावर फ़ंक्शन सभी x ≠ 0 के लिए परिभाषित किया गया है और एक के बराबर स्थिरांक है:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.
प्राकृतिक विषम घातांक के साथ घात फलन, p = n = 1, 3, 5, ...
एक प्राकृतिक विषम घातांक n = 1, 3, 5, ... के साथ एक घात फलन y = x p = x n पर विचार करें। इस सूचक को इस रूप में भी लिखा जा सकता है: n = 2k + 1, जहां k = 0, 1, 2, 3, ... एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है। ऐसे फ़ंक्शंस के गुण और ग्राफ़ नीचे दिए गए हैं।
घातांक n = 1, 3, 5, ... के विभिन्न मानों के लिए एक प्राकृतिक विषम घातांक के साथ एक घात फ़ंक्शन y = x n का ग्राफ़।
कार्यक्षेत्र: -∞ < x < ∞
एकाधिक अर्थ: -∞ < y < ∞
समानता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:नीरस रूप से बढ़ता है
चरम:नहीं
उत्तल:
-∞ पर< x < 0
выпукла вверх
0 पर< x < ∞
выпукла вниз
विभक्ति बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
एक्स = 0, वाई = 0
सीमाएँ:
;
निजी मूल्य:
x = -1 पर,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0, y(0) = 0 n = 0 पर
x = 1, y(1) = 1 n = 1 के लिए
उलटा कार्य:
n = 1 के लिए, फलन इसका व्युत्क्रम है: x = y
n ≠ 1 के लिए, व्युत्क्रम फलन घात n का मूल है:
प्राकृतिक सम घातांक के साथ घात फलन, p = n = 2, 4, 6, ...
एक प्राकृतिक सम घातांक n = 2, 4, 6, ... के साथ एक घात फलन y = x p = x n पर विचार करें। इस सूचक को इस रूप में भी लिखा जा सकता है: n = 2k, जहां k = 1, 2, 3, ... - प्राकृतिक। ऐसे फ़ंक्शंस के गुण और ग्राफ़ नीचे दिए गए हैं।
घातांक n = 2, 4, 6, ... के विभिन्न मानों के लिए एक प्राकृतिक सम घातांक के साथ एक घात फ़ंक्शन y = x n का ग्राफ़।
कार्यक्षेत्र: -∞ < x < ∞
एकाधिक अर्थ: 0 ≤ य< ∞
समानता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
x ≤ 0 के लिए नीरस रूप से घटता है
x ≥ 0 के लिए नीरस रूप से वृद्धि होती है
चरम:न्यूनतम, x = 0, y = 0
उत्तल:नीचे उत्तल
विभक्ति बिंदु:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
सीमाएँ:
;
निजी मूल्य:
x = -1 पर, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
x = 0, y(0) = 0 n = 0 पर
x = 1, y(1) = 1 n = 1 के लिए
उलटा कार्य:
n = 2 के लिए, वर्गमूल:
n ≠ 2 के लिए, घात n का मूल:
ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के साथ घात फलन, p = n = -1, -2, -3, ...
पूर्णांक ऋणात्मक घातांक n = -1, -2, -3, ... के साथ एक घात फलन y = x p = x n पर विचार करें। यदि हम n = -k रखते हैं, जहां k = 1, 2, 3, ... एक प्राकृतिक संख्या है, तो इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
घातांक n = -1, -2, -3, ... के विभिन्न मानों के लिए एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के साथ एक घात फलन y = x n का ग्राफ़।
विषम घातांक, n = -1, -3, -5, ...
नीचे एक विषम नकारात्मक घातांक n = -1, -3, -5, ... के साथ फ़ंक्शन y = x n के गुण दिए गए हैं।
कार्यक्षेत्र:एक्स ≠ 0
एकाधिक अर्थ:आप ≠ 0
समानता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:नीरस रूप से घटता है
चरम:नहीं
उत्तल:
एक्स पर< 0
:
выпукла вверх
x > 0 के लिए: नीचे की ओर उत्तल
विभक्ति बिंदु:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:नहीं
संकेत:
एक्स पर< 0, y < 0
x > 0, y > 0 के लिए
सीमाएँ:
; ; ;
निजी मूल्य:
x = 1, y(1) = 1 n = 1 के लिए
उलटा कार्य:
जब n = -1,
एन पर< -2
,
सम घातांक, n = -2, -4, -6, ...
सम ऋणात्मक घातांक n = -2, -4, -6, ... के साथ फलन y = x n के गुण नीचे दिए गए हैं।
कार्यक्षेत्र:एक्स ≠ 0
एकाधिक अर्थ:आप > 0
समानता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
एक्स पर< 0
:
монотонно возрастает
x > 0 के लिए: नीरस रूप से घटता है
चरम:नहीं
उत्तल:नीचे उत्तल
विभक्ति बिंदु:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:नहीं
संकेत:आप > 0
सीमाएँ:
; ; ;
निजी मूल्य:
x = 1, y(1) = 1 n = 1 के लिए
उलटा कार्य:
n = -2 पर,
एन पर< -2
,
तर्कसंगत (भिन्नात्मक) घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन
एक परिमेय (भिन्नात्मक) घातांक वाले घात फलन y = x p पर विचार करें, जहां n एक पूर्णांक है, m > 1 एक प्राकृतिक संख्या है। इसके अलावा, n, m में उभयनिष्ठ भाजक नहीं हैं।
भिन्नात्मक सूचक का हर विषम है
मान लीजिए कि भिन्नात्मक घातांक का हर विषम है: m = 3, 5, 7, ...। इस मामले में, पावर फ़ंक्शन x p को तर्क x के सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मानों के लिए परिभाषित किया गया है। आइए ऐसे घात फलनों के गुणों पर विचार करें जब घातांक p कुछ सीमाओं के भीतर हो।
पी-वैल्यू नकारात्मक है, पी< 0
मान लीजिए कि परिमेय घातांक (विषम हर m = 3, 5, 7, ... के साथ) शून्य से कम है:।
घातांक के विभिन्न मानों के लिए एक तर्कसंगत नकारात्मक घातांक के साथ शक्ति कार्यों के ग्राफ़, जहां m = 3, 5, 7, ... विषम है।
विषम अंश, n = -1, -3, -5, ...
हम पावर फ़ंक्शन y = x p के गुणों को एक तर्कसंगत नकारात्मक घातांक के साथ प्रस्तुत करते हैं, जहां n = -1, -3, -5, ... एक विषम नकारात्मक पूर्णांक है, m = 3, 5, 7 ... एक है विषम प्राकृतिक पूर्णांक.
कार्यक्षेत्र:एक्स ≠ 0
एकाधिक अर्थ:आप ≠ 0
समानता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:नीरस रूप से घटता है
चरम:नहीं
उत्तल:
एक्स पर< 0
:
выпукла вверх
x > 0 के लिए: नीचे की ओर उत्तल
विभक्ति बिंदु:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:नहीं
संकेत:
एक्स पर< 0, y < 0
x > 0, y > 0 के लिए
सीमाएँ:
; ; ;
निजी मूल्य:
x = -1, y(-1) = (-1) n = -1 पर
x = 1, y(1) = 1 n = 1 के लिए
उलटा कार्य:
सम अंश, n = -2, -4, -6, ...
घात फलन के गुण y = x p एक परिमेय ऋणात्मक घातांक के साथ, जहाँ n = -2, -4, -6, ... एक सम ऋणात्मक पूर्णांक है, m = 3, 5, 7 ... एक विषम प्राकृतिक पूर्णांक है .
कार्यक्षेत्र:एक्स ≠ 0
एकाधिक अर्थ:आप > 0
समानता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
एक्स पर< 0
:
монотонно возрастает
x > 0 के लिए: नीरस रूप से घटता है
चरम:नहीं
उत्तल:नीचे उत्तल
विभक्ति बिंदु:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:नहीं
संकेत:आप > 0
सीमाएँ:
; ; ;
निजी मूल्य:
x = -1, y(-1) = (-1) n = 1 पर
x = 1, y(1) = 1 n = 1 के लिए
उलटा कार्य:
पी-मान सकारात्मक है, एक से कम, 0< p < 1
परिमेय घातांक (0) के साथ एक घात फलन का ग्राफ़< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
विषम अंश, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
कार्यक्षेत्र: -∞ < x < +∞
एकाधिक अर्थ: -∞ < y < +∞
समानता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:नीरस रूप से बढ़ता है
चरम:नहीं
उत्तल:
एक्स पर< 0
:
выпукла вниз
x > 0 के लिए: ऊपर की ओर उत्तल
विभक्ति बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
संकेत:
एक्स पर< 0, y < 0
x > 0, y > 0 के लिए
सीमाएँ:
;
निजी मूल्य:
x = -1, y(-1) = -1 पर
x = 0, y(0) = 0 पर
x = 1, y(1) = 1 के लिए
उलटा कार्य:
सम अंश, n = 2, 4, 6, ...
0 के भीतर एक तर्कसंगत घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन y = x p के गुण प्रस्तुत किए गए हैं< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
कार्यक्षेत्र: -∞ < x < +∞
एकाधिक अर्थ: 0 ≤ य< +∞
समानता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
एक्स पर< 0
:
монотонно убывает
x > 0 के लिए: एकरसता से बढ़ता है
चरम: x = 0, y = 0 पर न्यूनतम
उत्तल: x ≠ 0 के लिए ऊपर की ओर उत्तल
विभक्ति बिंदु:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
संकेत: x ≠ 0, y > 0 के लिए
सीमाएँ:
;
निजी मूल्य:
x = -1, y(-1) = 1 पर
x = 0, y(0) = 0 पर
x = 1, y(1) = 1 के लिए
उलटा कार्य:
पी सूचकांक एक से अधिक है, पी > 1
घातांक के विभिन्न मानों के लिए एक परिमेय घातांक (पी > 1) के साथ एक घात फ़ंक्शन का ग्राफ़, जहां एम = 3, 5, 7, ... - विषम।
विषम अंश, n = 5, 7, 9, ...
एक से अधिक तर्कसंगत घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन y = x p के गुण:। जहाँ n = 5, 7, 9, ... - विषम प्राकृतिक, m = 3, 5, 7 ... - विषम प्राकृतिक।
कार्यक्षेत्र: -∞ < x < ∞
एकाधिक अर्थ: -∞ < y < ∞
समानता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:नीरस रूप से बढ़ता है
चरम:नहीं
उत्तल:
-∞ पर< x < 0
выпукла вверх
0 पर< x < ∞
выпукла вниз
विभक्ति बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
सीमाएँ:
;
निजी मूल्य:
x = -1, y(-1) = -1 पर
x = 0, y(0) = 0 पर
x = 1, y(1) = 1 के लिए
उलटा कार्य:
सम अंश, n = 4, 6, 8, ...
एक से अधिक तर्कसंगत घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन y = x p के गुण:। जहाँ n = 4, 6, 8, ... - सम प्राकृतिक, m = 3, 5, 7 ... - विषम प्राकृतिक।
कार्यक्षेत्र: -∞ < x < ∞
एकाधिक अर्थ: 0 ≤ य< ∞
समानता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
एक्स पर< 0
монотонно убывает
x > 0 के लिए नीरस रूप से वृद्धि होती है
चरम: x = 0, y = 0 पर न्यूनतम
उत्तल:नीचे उत्तल
विभक्ति बिंदु:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
सीमाएँ:
;
निजी मूल्य:
x = -1, y(-1) = 1 पर
x = 0, y(0) = 0 पर
x = 1, y(1) = 1 के लिए
उलटा कार्य:
भिन्नात्मक सूचक का हर सम होता है
मान लीजिए कि भिन्नात्मक घातांक का हर सम है: m = 2, 4, 6, ...। इस मामले में, पावर फ़ंक्शन x p को तर्क के नकारात्मक मानों के लिए परिभाषित नहीं किया गया है। इसके गुण एक अपरिमेय घातांक वाले पावर फ़ंक्शन के गुणों से मेल खाते हैं (अगला भाग देखें)।
अपरिमेय घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन
एक अपरिमेय घातांक p के साथ एक घात फलन y = x p पर विचार करें। ऐसे फ़ंक्शंस के गुण ऊपर चर्चा किए गए फ़ंक्शंस से भिन्न होते हैं, क्योंकि वे तर्क x के नकारात्मक मानों के लिए परिभाषित नहीं होते हैं। तर्क के सकारात्मक मूल्यों के लिए, गुण केवल घातांक p के मान पर निर्भर करते हैं और इस पर निर्भर नहीं करते हैं कि p पूर्णांक है, परिमेय है या अपरिमेय है।
घातांक p के विभिन्न मानों के लिए y = x p।
ऋणात्मक घातांक p के साथ घात फलन< 0
कार्यक्षेत्र:एक्स > 0
एकाधिक अर्थ:आप > 0
मोनोटोन:नीरस रूप से घटता है
उत्तल:नीचे उत्तल
विभक्ति बिंदु:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:नहीं
सीमाएँ: ;
निजी अर्थ: x = 1, y(1) = 1 p = 1 के लिए
सकारात्मक घातांक p > 0 के साथ पावर फ़ंक्शन
सूचक एक 0 से कम< p < 1
कार्यक्षेत्र:एक्स ≥ 0
एकाधिक अर्थ:आप ≥ 0
मोनोटोन:नीरस रूप से बढ़ता है
उत्तल:ऊपर की ओर उत्तल
विभक्ति बिंदु:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
सीमाएँ:
निजी मूल्य: x = 0, y(0) = 0 p = 0 के लिए।
x = 1, y(1) = 1 p = 1 के लिए
सूचक एक पी > 1 से अधिक है
कार्यक्षेत्र:एक्स ≥ 0
एकाधिक अर्थ:आप ≥ 0
मोनोटोन:नीरस रूप से बढ़ता है
उत्तल:नीचे उत्तल
विभक्ति बिंदु:नहीं
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:एक्स = 0, वाई = 0
सीमाएँ:
निजी मूल्य: x = 0, y(0) = 0 p = 0 के लिए।
x = 1, y(1) = 1 p = 1 के लिए
सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।
फ़ंक्शन y = ax, y = ax 2, y = a/x विशेष प्रकार के पावर फ़ंक्शन हैं एन = 1, एन = 2, एन = -1 .
अगर एनएक भिन्नात्मक संख्या पी/ क्यूएक सम हर के साथ क्यूऔर विषम अंश आर, फिर मूल्य इसमें दो चिह्न हो सकते हैं, और ग्राफ़ का एक अन्य भाग x-अक्ष के नीचे है एक्स, और यह ऊपरी भाग के सममित है।
हम दो-मान वाले फ़ंक्शन y = ±2x 1/2 का ग्राफ़ देखते हैं, यानी। एक क्षैतिज अक्ष के साथ एक परवलय द्वारा दर्शाया गया।
फ़ंक्शन ग्राफ़ वाई = एक्सएनपर एन = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . ये ग्राफ़ बिंदु (1; 1) से होकर गुजरते हैं।
कब एन = -1 हम पाते हैं अतिशयोक्ति. पर एन < - 1 पावर फ़ंक्शन का ग्राफ़ पहले हाइपरबोला के ऊपर स्थित होता है, अर्थात। बीच में एक्स = 0और एक्स = 1, और फिर निचला (at एक्स > 1). अगर एन> -1 ग्राफ दूसरी ओर जाता है। नकारात्मक मूल्य एक्सऔर भिन्नात्मक मान एनसकारात्मक के लिए समान एन.
सभी ग्राफ़ अनिश्चित काल तक x-अक्ष के सन्निकट हैं एक्स,और कोर्डिनेट अक्ष पर परउन्हें छुए बिना. हाइपरबोला से समानता के कारण, इन ग्राफ़ों को हाइपरबोला कहा जाता है एन वांआदेश देना।
पावर फ़ंक्शन फॉर्म के सूत्र द्वारा दिया गया है।
आइए घातांक के मान के आधार पर पावर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के रूप और पावर फ़ंक्शन के गुणों पर विचार करें।
आइए एक पूर्णांक घातांक वाले पावर फ़ंक्शन से शुरुआत करें ए. इस मामले में, पावर फ़ंक्शंस के ग्राफ़ की उपस्थिति और फ़ंक्शंस के गुण घातांक की समता या विषमता के साथ-साथ उसके चिह्न पर भी निर्भर करते हैं। इसलिए, पहले हम घातांक के विषम सकारात्मक मानों के लिए घात फलनों पर विचार करते हैं ए, फिर - सम धनात्मक घातांक के लिए, फिर - विषम ऋणात्मक घातांक के लिए, और अंत में, सम ऋणात्मक घातांक के लिए ए.
भिन्नात्मक और अपरिमेय घातांक वाले घात फलन के गुण (साथ ही ऐसे घात फलन के ग्राफ़ के प्रकार) घातांक के मान पर निर्भर करते हैं ए. हम उन पर सबसे पहले कब विचार करेंगे एशून्य से एक तक, दूसरा, कब एबड़ी इकाइयाँ, तीसरा, साथ एशून्य से एक से शून्य तक, चौथा, साथ एछोटा शून्य से एक.
इस खंड के अंत में, पूर्णता के लिए, हम शून्य घातांक वाले एक पावर फ़ंक्शन का वर्णन करेंगे।
विषम धनात्मक घातांक के साथ घात फलन।
आइए हम एक विषम सकारात्मक घातांक वाले घात फलन पर विचार करें, अर्थात, साथ ए=1,3,5,….
नीचे दिया गया चित्र पावर फ़ंक्शंस के ग्राफ़ दिखाता है - काली रेखा, - नीली रेखा, - लाल रेखा, - हरी रेखा। पर ए=1हमारे पास है रैखिक प्रकार्य y=x.
एक विषम धनात्मक घातांक वाले घात फलन के गुण।
सम सकारात्मक घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन।
आइए हम एक सम धनात्मक घातांक वाले घात फलन पर विचार करें, अर्थात, के लिए ए=2,4,6,….
उदाहरण के तौर पर, हम पावर फ़ंक्शंस के ग्राफ़ देते हैं - काली रेखा, - नीली रेखा, - लाल रेखा। पर ए=2हमारे पास एक द्विघात फलन है जिसका ग्राफ है द्विघात परवलय.
एक सम धनात्मक घातांक वाले घात फलन के गुण।
विषम ऋणात्मक घातांक के साथ घात फलन।
घातांक के विषम नकारात्मक मानों के लिए पावर फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखें, अर्थात ए=-1,-3,-5,….