वृत्त चिन्ह. कैसे ज्ञात करें और वृत्त की परिधि क्या होगी?
हमारे आसपास की दुनिया में कई वस्तुएं गोल आकार की हैं। ये पहिये, गोल खिड़की के उद्घाटन, पाइप, विभिन्न व्यंजन और बहुत कुछ हैं। आप किसी वृत्त का व्यास या त्रिज्या जानकर उसकी लंबाई की गणना कर सकते हैं।
इस ज्यामितीय आकृति की कई परिभाषाएँ हैं।
- यह एक बंद वक्र है जिसमें ऐसे बिंदु होते हैं जो किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर स्थित होते हैं।
- यह एक वक्र है जिसमें बिंदु ए और बी शामिल हैं, जो खंड के छोर हैं, और सभी बिंदु जहां से ए और बी समकोण पर दिखाई देते हैं। इस स्थिति में, खंड AB व्यास है।
- समान खंड AB के लिए, इस वक्र में सभी बिंदु C इस प्रकार शामिल हैं कि AC/BC का अनुपात स्थिर है और 1 के बराबर नहीं है।
- यह बिंदुओं से युक्त एक वक्र है जिसके लिए निम्नलिखित सत्य है: यदि आप एक बिंदु से दो अन्य बिंदुओं ए और बी तक की दूरी के वर्गों को जोड़ते हैं, तो आपको ए और को जोड़ने वाले खंड के 1/2 से अधिक एक स्थिर संख्या मिलती है। बी। यह परिभाषा पाइथागोरस प्रमेय से ली गई है।
टिप्पणी!अन्य परिभाषाएँ भी हैं। वृत्त एक वृत्त के भीतर का क्षेत्र है। एक वृत्त की परिधि उसकी लंबाई है। विभिन्न परिभाषाओं के अनुसार, एक वृत्त में वक्र शामिल हो भी सकता है और नहीं भी, जो उसकी सीमा है।
वृत्त की परिभाषा
सूत्रों
त्रिज्या का उपयोग करके वृत्त की परिधि की गणना कैसे करें? यह एक सरल सूत्र का उपयोग करके किया जाता है:
जहाँ L वांछित मान है,
π संख्या pi है, जो लगभग 3.1413926 के बराबर है।
आमतौर पर, आवश्यक मान ज्ञात करने के लिए, दूसरे अंक यानी 3.14 तक π का उपयोग करना पर्याप्त है, इससे आवश्यक सटीकता मिलेगी। कैलकुलेटर पर, विशेष रूप से इंजीनियरिंग वाले कैलकुलेटर में, एक बटन हो सकता है जो स्वचालित रूप से संख्या π का मान दर्ज करता है।
पदनाम
व्यास के माध्यम से ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र है:
यदि L पहले से ही ज्ञात है, तो त्रिज्या या व्यास आसानी से पता लगाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, L को क्रमशः 2π या π से विभाजित किया जाना चाहिए।
यदि एक वृत्त पहले ही दिया जा चुका है, तो आपको यह समझने की आवश्यकता है कि इस डेटा से परिधि कैसे ज्ञात करें। वृत्त का क्षेत्रफल S = πR2 है। यहां से हम त्रिज्या पाते हैं: R = √(S/π)। तब
L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).
L के संदर्भ में क्षेत्रफल की गणना करना भी आसान है: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)
संक्षेप में, हम कह सकते हैं कि तीन मूल सूत्र हैं:
- त्रिज्या के माध्यम से - L = 2πR;
- व्यास के माध्यम से - एल = πD;
- वृत्त के क्षेत्रफल से होकर – L = 2√(Sπ).
अनुकरणीय
संख्या π के बिना विचाराधीन समस्या का समाधान संभव नहीं होगा। संख्या π को सबसे पहले एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात के रूप में पाया गया था। यह प्राचीन बेबीलोनियों, मिस्रवासियों और भारतीयों द्वारा किया गया था। उन्होंने इसे बिल्कुल सटीक पाया - उनके परिणाम π के वर्तमान ज्ञात मूल्य से 1% से अधिक भिन्न नहीं थे। स्थिरांक का अनुमान 25/8, 256/81, 339/108 जैसे भिन्नों द्वारा लगाया गया था।
इसके अलावा, इस स्थिरांक के मान की गणना न केवल ज्यामिति के दृष्टिकोण से की गई, बल्कि श्रृंखला के योगों के माध्यम से गणितीय विश्लेषण के दृष्टिकोण से भी की गई। इस स्थिरांक का पदनाम यूनानी अक्षरπ का उपयोग पहली बार 1706 में विलियम जोन्स द्वारा किया गया था और यूलर के काम के बाद यह लोकप्रिय हो गया।
अब यह ज्ञात है कि यह स्थिरांक एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश है; यह अपरिमेय है, अर्थात इसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। सुपरकंप्यूटर गणनाओं का उपयोग करते हुए, स्थिरांक का 10-ट्रिलियनवाँ चिह्न 2011 में खोजा गया था।
यह दिलचस्प है!संख्या π के पहले कुछ अंकों को याद रखने के लिए विभिन्न स्मरणीय नियमों का आविष्कार किया गया है। कुछ आपको मेमोरी में स्टोर करने की अनुमति देते हैं बड़ी संख्यासंख्याएँ, उदाहरण के लिए, एक फ्रांसीसी कविता आपको पाई को 126वें अंक तक याद रखने में मदद करेगी।
यदि आपको परिधि की आवश्यकता है, तो एक ऑनलाइन कैलकुलेटर इसमें आपकी सहायता करेगा। ऐसे कई कैलकुलेटर हैं; आपको बस त्रिज्या या व्यास दर्ज करना होगा। उनमें से कुछ के पास ये दोनों विकल्प हैं, अन्य केवल आर के माध्यम से परिणाम की गणना करते हैं। कुछ कैलकुलेटर विभिन्न सटीकता के साथ वांछित मान की गणना कर सकते हैं, आपको दशमलव स्थानों की संख्या निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है। आप ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करके किसी वृत्त के क्षेत्रफल की गणना भी कर सकते हैं।
ऐसे कैलकुलेटर किसी भी खोज इंजन पर आसानी से मिल जाते हैं। वे भी हैं मोबाइल एप्लीकेशन, जो वृत्त की परिधि ज्ञात करने की समस्या को हल करने में मदद करेगा।
उपयोगी वीडियो: परिधि
प्रायोगिक उपयोग
ऐसी समस्या का समाधान अक्सर इंजीनियरों और वास्तुकारों के लिए आवश्यक होता है, लेकिन रोजमर्रा की जिंदगी में आवश्यक सूत्रों का ज्ञान भी उपयोगी हो सकता है। उदाहरण के लिए, आपको 20 सेमी व्यास वाले सांचे में पके हुए केक के चारों ओर एक कागज़ की पट्टी लपेटनी होगी। फिर इस पट्टी की लंबाई ज्ञात करना मुश्किल नहीं होगा:
एल = πडी = 3.14 * 20 = 62.8 सेमी.
एक अन्य उदाहरण: आपको एक गोल पूल के चारों ओर एक निश्चित दूरी पर बाड़ लगाने की आवश्यकता है। यदि पूल की त्रिज्या 10 मीटर है, और बाड़ को 3 मीटर की दूरी पर रखने की आवश्यकता है, तो परिणामी सर्कल के लिए आर 13 मीटर होगा। तो इसकी लंबाई है:
एल = 2πआर = 2 * 3.14 * 13 = 81.68 मीटर।
उपयोगी वीडियो: वृत्त - त्रिज्या, व्यास, परिधि
जमीनी स्तर
किसी वृत्त की परिधि की गणना व्यास या त्रिज्या वाले सरल सूत्रों का उपयोग करके आसानी से की जा सकती है। आप वृत्त के क्षेत्रफल के माध्यम से भी वांछित मात्रा ज्ञात कर सकते हैं। ऑनलाइन कैलकुलेटर या मोबाइल एप्लिकेशन, जिसमें आपको एक ही नंबर दर्ज करना होगा - व्यास या त्रिज्या, इस समस्या को हल करने में आपकी मदद करेंगे।
और यह वृत्त से किस प्रकार भिन्न है? एक कलम या रंग लें और कागज के एक टुकड़े पर एक नियमित वृत्त बनाएं। परिणामी आकृति के पूरे मध्य भाग पर नीली पेंसिल से पेंट करें। आकृति की सीमाओं को दर्शाने वाली लाल रूपरेखा एक वृत्त है। लेकिन इसके अंदर की नीली सामग्री ही वृत्त है।
वृत्त और वृत्त के आयाम व्यास से निर्धारित होते हैं। वृत्त को इंगित करने वाली लाल रेखा पर, दो बिंदुओं को चिह्नित करें ताकि वे हों दर्पण छविएक दूसरे। इन्हें एक लाइन से जोड़ दें. खंड निश्चित रूप से वृत्त के केंद्र में बिंदु से होकर गुजरेगा। वृत्त के विपरीत भागों को जोड़ने वाले इस खंड को ज्यामिति में व्यास कहा जाता है।
वह खंड जो वृत्त के केंद्र से होकर नहीं फैलता है, बल्कि विपरीत छोर पर जुड़ता है, जीवा कहलाता है। परिणामस्वरूप, वृत्त के केंद्र बिंदु से गुजरने वाली जीवा उसका व्यास है।
व्यास को लैटिन अक्षर D से दर्शाया जाता है। आप वृत्त के क्षेत्रफल, लंबाई और त्रिज्या जैसे मानों का उपयोग करके किसी वृत्त का व्यास ज्ञात कर सकते हैं।
वृत्त के केंद्रीय बिंदु से अंकित बिंदु तक की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है और इसे अक्षर R द्वारा दर्शाया जाता है। त्रिज्या का मान जानने से एक सरल चरण में वृत्त के व्यास की गणना करने में मदद मिलती है:
उदाहरण के लिए, त्रिज्या 7 सेमी है। हम 7 सेमी को 2 से गुणा करते हैं और 14 सेमी के बराबर मान प्राप्त करते हैं। उत्तर: दिए गए आंकड़े का डी 14 सेमी है।
कभी-कभी आपको किसी वृत्त का व्यास केवल उसकी लंबाई से निर्धारित करना पड़ता है। यहां फॉर्मूला एल = 2 पीआई * आर निर्धारित करने में सहायता के लिए एक विशेष सूत्र लागू करना आवश्यक है, जहां 2 एक स्थिर मान (स्थिर) है, और पीआई = 3.14 है। और चूँकि यह ज्ञात है कि R = D * 2, सूत्र को दूसरे तरीके से प्रस्तुत किया जा सकता है
यह अभिव्यक्ति वृत्त के व्यास के सूत्र के रूप में भी लागू होती है। समस्या में ज्ञात मात्राओं को प्रतिस्थापित करते हुए, हम एक अज्ञात के साथ समीकरण को हल करते हैं। मान लीजिए कि लंबाई 7 मीटर है। इसलिए:
उत्तर: व्यास 21.98 मीटर है।
यदि क्षेत्रफल ज्ञात हो तो वृत्त का व्यास भी ज्ञात किया जा सकता है। जिस सूत्र का प्रयोग किया जाता है इस मामले में, ऐसा दिखता है:
डी = 2 * (एस/पीआई) * (1/2)
एस - इस मामले में मान लीजिए कि समस्या में यह 30 वर्ग मीटर के बराबर है। एम. हमें मिलता है:
डी = 2 * (30/3, 14) * (1/2) डी = 9, 55414
जब समस्या में दर्शाया गया मान गेंद के आयतन (V) के बराबर होता है, तो व्यास ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है: D = (6 V / Pi) * 1/3।
कभी-कभी आपको किसी त्रिभुज में अंकित वृत्त का व्यास ज्ञात करना पड़ता है। ऐसा करने के लिए, प्रस्तुत वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:
आर = एस/पी (एस दिए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल है, और पी 2 से विभाजित परिधि है)।
हम प्राप्त परिणाम को दोगुना कर देते हैं, यह ध्यान में रखते हुए कि D = 2 * R.
रोजमर्रा की जिंदगी में अक्सर आपको वृत्त का व्यास ज्ञात करना पड़ता है। उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करते समय कि इसके व्यास के बराबर क्या है। ऐसा करने के लिए, आपको अंगूठी के संभावित मालिक की उंगली को धागे से लपेटना होगा। दोनों सिरों के बीच संपर्क के बिंदुओं को चिह्नित करें। एक रूलर से बिंदु से बिंदु तक की लंबाई मापें। ज्ञात लंबाई के साथ व्यास निर्धारित करने के सूत्र का पालन करते हुए, हम परिणामी मान को 3.14 से गुणा करते हैं। इसलिए, यह कथन कि ज्यामिति और बीजगणित का ज्ञान जीवन में उपयोगी नहीं है, हमेशा सत्य नहीं होता है। और यह स्कूली विषयों को अधिक जिम्मेदारी से लेने का एक गंभीर कारण है।
निर्देश
सबसे पहले आपको कार्य के लिए प्रारंभिक डेटा की आवश्यकता है। तथ्य यह है कि इसकी स्थिति स्पष्ट रूप से नहीं बता सकती कि त्रिज्या क्या है घेरा. इसके बजाय, समस्या व्यास की लंबाई दे सकती है घेरा. व्यास घेरा- एक खंड जो दो विपरीत बिंदुओं को जोड़ता है घेरा, इसके केंद्र से होकर गुजर रहा है। परिभाषाओं का विश्लेषण करने के बाद घेरा, हम कह सकते हैं कि व्यास की लंबाई त्रिज्या की लंबाई से दोगुनी है।
अब हम त्रिज्या को स्वीकार कर सकते हैं घेराआर के बराबर। फिर लंबाई के लिए घेराआपको सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
L = 2πR = πD, जहां L लंबाई है घेरा, डी - व्यास घेरा, जो सदैव त्रिज्या का 2 गुना होता है।
टिप्पणी
एक वृत्त को बहुभुज में अंकित किया जा सकता है या उसके चारों ओर वर्णित किया जा सकता है। इसके अलावा, यदि वृत्त अंकित है, तो बहुभुज की भुजाओं के संपर्क के बिंदुओं पर यह उन्हें आधे में विभाजित कर देगा। अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, आपको बहुभुज के क्षेत्रफल को उसकी परिधि के आधे से विभाजित करना होगा:
आर = एस/पी.
यदि किसी त्रिभुज के चारों ओर एक वृत्त परिचालित किया गया है, तो उसकी त्रिज्या निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जाती है:
R = a*b*c/4S, जहां a, b, c किसी दिए गए त्रिभुज की भुजाएं हैं, S त्रिभुज का वह क्षेत्र है जिसके चारों ओर वृत्त परिचालित है।
यदि आप एक चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करना चाहते हैं, तो दो शर्तें पूरी होने पर ऐसा किया जा सकता है:
चतुर्भुज उत्तल होना चाहिए.
चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होना चाहिए
पारंपरिक कैलीपर के अलावा, वृत्त खींचने के लिए स्टेंसिल का भी उपयोग किया जा सकता है। आधुनिक स्टेंसिल में विभिन्न व्यास के वृत्त शामिल होते हैं। ये स्टेंसिल किसी भी कार्यालय आपूर्ति स्टोर पर खरीदे जा सकते हैं।
स्रोत:
- वृत्त की परिधि कैसे ज्ञात करें?
वृत्त एक बंद घुमावदार रेखा है जिसके सभी बिंदु एक बिंदु से समान दूरी पर होते हैं। यह बिंदु वृत्त का केंद्र है, और वक्र पर बिंदु और उसके केंद्र के बीच के खंड को वृत्त की त्रिज्या कहा जाता है।
निर्देश
यदि किसी वृत्त के केंद्र से होकर एक सीधी रेखा खींची जाती है, तो वृत्त के साथ इस रेखा के दो प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच के खंड को दिए गए वृत्त का व्यास कहा जाता है। व्यास का आधा भाग, केंद्र से उस बिंदु तक जहां व्यास वृत्त को काटता है, त्रिज्या है
वृत्त. यदि किसी वृत्त को किसी मनमाने बिंदु पर काटा जाता है, सीधा किया जाता है और मापा जाता है, तो परिणामी मान दिए गए वृत्त की लंबाई है।
विभिन्न कम्पास समाधानों से कई वृत्त बनाएं। दृश्य तुलना हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देती है कि बड़े व्यास की रूपरेखा है बड़ा वृत्त, एक वृत्त से घिरा हुआ अब. परिणामस्वरूप, वृत्त के व्यास और उसकी लंबाई के बीच सीधा आनुपातिक संबंध होता है।
इसके भौतिक अर्थ में, "परिधि की लंबाई" पैरामीटर एक टूटी हुई रेखा से मेल खाती है। यदि हम एक वृत्त में भुजा b के साथ एक नियमित n-गॉन अंकित करते हैं, तो ऐसी आकृति P की परिधि, भुजा n की संख्या से भुजा b के गुणनफल के बराबर होती है: P=b*n। पक्ष b को सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है: b=2R*Sin (π/n), जहां R उस वृत्त की त्रिज्या है जिसमें n-गॉन अंकित है।
जैसे-जैसे भुजाओं की संख्या बढ़ती है, अंकित बहुभुज की परिधि तेजी से L के करीब पहुंच जाएगी। Р= b*n=2n*R*Sin (π/n)=n*D*Sin (π/n)। परिधि L और उसके व्यास D के बीच संबंध स्थिर है। अनुपात L/D=n*Sin (π/n) क्योंकि एक उत्कीर्ण बहुभुज की भुजाओं की संख्या अनंत की ओर बढ़ती है, संख्या π की ओर बढ़ती है, एक स्थिर मान जिसे "pi" कहा जाता है और इसे अनंत दशमलव अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है। आवेदन के बिना गणना के लिए कंप्यूटर प्रौद्योगिकीमान π=3.14 स्वीकृत है। एक वृत्त की परिधि और उसका व्यास सूत्र द्वारा संबंधित हैं: L= πD. एक वृत्त के लिए, इसकी लंबाई को π=3.14 से विभाजित करें।
बहुत बार निर्णय लेते समय स्कूल के कामभौतिकी में प्रश्न उठता है - व्यास जानकर किसी वृत्त की परिधि कैसे ज्ञात करें? वास्तव में, इस समस्या को हल करने में कोई कठिनाई नहीं है, आपको बस स्पष्ट रूप से कल्पना करने की आवश्यकता है कि क्या सूत्रोंइसके लिए अवधारणाओं और परिभाषाओं की आवश्यकता है।
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बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ
- त्रिज्या जोड़ने वाली रेखा है वृत्त का केंद्र और उसका मनमाना बिंदु. इसे लैटिन अक्षर r से दर्शाया जाता है।
- राग दो मनमाने ढंग से जोड़ने वाली एक रेखा है एक वृत्त पर पड़े बिंदु.
- व्यास जोड़ने वाली रेखा है एक वृत्त के दो बिंदु और उसके केंद्र से होकर गुजरना. इसे लैटिन अक्षर d से दर्शाया जाता है।
- एक रेखा है जिसमें एक चयनित बिंदु से समान दूरी पर स्थित सभी बिंदु शामिल होते हैं, जिसे इसका केंद्र कहा जाता है। इसकी लंबाई को हम लैटिन अक्षर l से निरूपित करेंगे।
एक वृत्त का क्षेत्रफल सम्पूर्ण भूभाग होता है एक घेरे में घिरा हुआ. इसे मापा जाता है वर्ग इकाइयों मेंऔर लैटिन अक्षर s द्वारा दर्शाया गया है।
अपनी परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि एक वृत्त का व्यास उसकी सबसे बड़ी जीवा के बराबर होता है।
ध्यान!किसी वृत्त की त्रिज्या क्या है इसकी परिभाषा से आप पता लगा सकते हैं कि वृत्त का व्यास क्या है। ये विपरीत दिशाओं में रखी गई दो त्रिज्याएँ हैं!
एक वृत्त का व्यास.
एक वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल ज्ञात करना
यदि हमें किसी वृत्त की त्रिज्या दी गई है, तो वृत्त का व्यास सूत्र द्वारा वर्णित किया गया है डी = 2*आर. इस प्रकार, किसी वृत्त की त्रिज्या जानकर उसका व्यास कैसे ज्ञात किया जाए, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, अंतिम वाला ही पर्याप्त है दो से गुणा करें.
किसी वृत्त की परिधि का सूत्र, उसकी त्रिज्या के रूप में व्यक्त किया जाता है एल = 2*पी*आर.
ध्यान!लैटिन अक्षर P (Pi) एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात को दर्शाता है, और यह एक गैर-आवधिक है दशमलव. स्कूली गणित में, इसे 3.14 के बराबर पहले से ज्ञात सारणीबद्ध मान माना जाता है!
आइए अब किसी वृत्त के व्यास के माध्यम से उसकी परिधि ज्ञात करने के लिए पिछले सूत्र को फिर से लिखें, यह याद रखें कि त्रिज्या के संबंध में इसका अंतर क्या है। यह निकलेगा: एल = 2*पी*आर = 2*आर*पी = पी*डी.
गणित पाठ्यक्रम से हम जानते हैं कि वृत्त के क्षेत्रफल का वर्णन करने वाले सूत्र का रूप इस प्रकार है: s = П*r^2।
आइए अब किसी वृत्त के व्यास से उसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए पिछले सूत्र को फिर से लिखें। हम पाते हैं,
s = П*r^2 = П*d^2/4.
इस विषय में सबसे कठिन कार्यों में से एक परिधि के माध्यम से एक वृत्त का क्षेत्रफल निर्धारित करना है और इसके विपरीत। आइए इस तथ्य का लाभ उठाएं कि s = П*r^2 और l = 2*П*r। यहां से हमें r = l/(2*P) प्राप्त होता है। आइए त्रिज्या के लिए परिणामी अभिव्यक्ति को क्षेत्रफल के सूत्र में प्रतिस्थापित करें, हमें मिलता है: एस = एल^2/(4पी). बिल्कुल इसी तरह से वृत्त के क्षेत्रफल के माध्यम से परिधि निर्धारित की जाती है।
त्रिज्या की लंबाई और व्यास का निर्धारण
महत्वपूर्ण!सबसे पहले, आइए जानें कि व्यास कैसे मापें। यह बहुत सरल है - कोई भी त्रिज्या बनाएं, इसे विपरीत दिशा में तब तक बढ़ाएं जब तक कि यह चाप के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए। हम परिणामी दूरी को कम्पास से मापते हैं और यह पता लगाने के लिए कि हम क्या खोज रहे हैं, किसी भी मीट्रिक उपकरण का उपयोग करते हैं!
आइए इस प्रश्न का उत्तर दें कि किसी वृत्त की लंबाई जानकर उसका व्यास कैसे ज्ञात किया जाए। ऐसा करने के लिए, हम इसे सूत्र l = П*d से व्यक्त करते हैं। हमें d = l/P मिलता है।
हम पहले से ही जानते हैं कि किसी वृत्त की परिधि से उसका व्यास कैसे ज्ञात किया जाता है, और हम उसी प्रकार उसकी त्रिज्या भी ज्ञात कर सकते हैं।
एल = 2*पी*आर, इसलिए आर = एल/2*पी। सामान्य तौर पर, त्रिज्या का पता लगाने के लिए इसे व्यास के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए और इसके विपरीत भी।
मान लीजिए अब आपको वृत्त का क्षेत्रफल जानकर, व्यास निर्धारित करने की आवश्यकता है। हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि s = П*d^2/4। आइए हम यहां से d व्यक्त करें। हो जाएगा d^2 = 4*s/P. व्यास स्वयं निर्धारित करने के लिए, आपको निकालने की आवश्यकता होगी दाहिनी ओर का वर्गमूल. यह d = 2*sqrt(s/P) निकला।
विशिष्ट कार्यों का समाधान
- आइए जानें कि यदि परिधि दी गई है तो व्यास कैसे ज्ञात करें। मान लीजिए कि यह 778.72 किलोमीटर के बराबर है। डी खोजने के लिए आवश्यक है। डी = 778.72/3.14 = 248 किलोमीटर। आइए याद रखें कि व्यास क्या है और तुरंत त्रिज्या निर्धारित करें; ऐसा करने के लिए, हम ऊपर निर्धारित मान d को आधे में विभाजित करते हैं। हो जाएगा आर = 248/2 = 124किलोमीटर
- आइए विचार करें कि किसी दिए गए वृत्त की त्रिज्या जानकर उसकी लंबाई कैसे ज्ञात की जाए। मान लीजिए r का मान 8 dm 7 सेमी है। आइए इसे सेंटीमीटर में बदलें, फिर r 87 सेंटीमीटर के बराबर होगा। आइए किसी वृत्त की अज्ञात लंबाई ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करें। तब हमारा वांछित मान बराबर होगा एल = 2*3.14*87 = 546.36 सेमी. आइए अपने प्राप्त मान को मीट्रिक मात्राओं की पूर्णांक संख्याओं में परिवर्तित करें l = 546.36 सेमी = 5 मीटर 4 डीएम 6 सेमी 3.6 मिमी।
- आइए हमें किसी दिए गए वृत्त का क्षेत्रफल उसके ज्ञात व्यास के माध्यम से सूत्र का उपयोग करके निर्धारित करने की आवश्यकता है। मान लीजिए d = 815 मीटर। आइए वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र याद रखें। आइए यहां हमें दिए गए मूल्यों को प्रतिस्थापित करें, हमें मिलता है s = 3.14*815^2/4 = 521416.625 वर्ग। एम।
- अब हम सीखेंगे कि किसी वृत्त की त्रिज्या की लंबाई जानकर उसका क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। माना त्रिज्या 38 सेमी है। हम ज्ञात सूत्र का उपयोग करते हैं। आइए हम यहां शर्त द्वारा हमें दिए गए मान को प्रतिस्थापित करें। आपको निम्नलिखित मिलता है: s = 3.14*38^2 = 4534.16 वर्ग। सेमी।
- अंतिम कार्य ज्ञात परिधि के आधार पर वृत्त का क्षेत्रफल निर्धारित करना है। मान लीजिए l = 47 मीटर। एस = 47^2/(4पी) = 2209/12.56 = 175.87 वर्ग। एम।
परिधि
निर्देश
यदि केवल व्यास ज्ञात है, तो सूत्र "R = D/2" जैसा दिखेगा।
यदि लम्बाई घेराअज्ञात है, लेकिन एक निश्चित लंबाई पर डेटा है, तो सूत्र "R = (h^2*4 + L^2)/8*h" जैसा दिखेगा, जहां h खंड की ऊंचाई है (है) जीवा के मध्य से निर्दिष्ट चाप के सबसे उभरे हुए भाग तक की दूरी), और L खंड की लंबाई है (जो कि जीवा की लंबाई नहीं है)। एक जीवा एक खंड है जो दो बिंदुओं को जोड़ता है घेरा.
टिप्पणी
"सर्कल" और "सर्कल" की अवधारणाओं के बीच अंतर करना आवश्यक है। एक वृत्त एक समतल का भाग होता है, जो बदले में एक निश्चित त्रिज्या के वृत्त द्वारा सीमित होता है। त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, आपको वृत्त का क्षेत्रफल जानना होगा। इस मामले में, समीकरण "R = (S/π)^1/2" होगा, जहां S क्षेत्र है। क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, बदले में, आपको त्रिज्या ("S = πr^2") जानने की आवश्यकता है।
केवल लंबाई जानना व्यासमंडलियां, आप न केवल गणना कर सकते हैं वर्गवृत्त, लेकिन कुछ अन्य ज्यामितीय आकृतियों का क्षेत्रफल भी। यह इस तथ्य से पता चलता है कि ऐसी आकृतियों के चारों ओर अंकित या परिबद्ध वृत्तों के व्यास उनकी भुजाओं या विकर्णों की लंबाई के साथ मेल खाते हैं।
निर्देश
यदि आपको खोजने की आवश्यकता है वर्ग(एस) इसकी ज्ञात लंबाई के अनुसार व्यास(डी), पाई (π) को उसकी लंबाई से गुणा करें व्यास, और परिणाम को चार से विभाजित करें: S=π ²*D²/4. उदाहरण के लिए, एक वृत्त बीस सेंटीमीटर का है, तो उसका वर्गनिम्नानुसार गणना की जा सकती है: 3.14² * 20² / 4 = 9.86 * 400 / 4 = 986 सेंटीमीटर।
यदि आपको खोजने की आवश्यकता है वर्गवर्ग (S) के चारों ओर वृत्त (D) के व्यास के अनुदिश, लंबाई की रचना करें व्यासवर्ग करें, और परिणाम को आधे में विभाजित करें: S=D²/2. उदाहरण के लिए, यदि परिचालित वृत्त का व्यास बीस सेंटीमीटर है, तो वर्गवर्ग की गणना इस प्रकार की जा सकती है: 20² / 2 = 400 / 2 = 200 वर्ग सेंटीमीटर।
अगर वर्गवर्ग (S) को उसमें अंकित वृत्त के व्यास (D) से ज्ञात किया जाना चाहिए, यह लंबाई बनाने के लिए पर्याप्त है व्यासवर्ग: S=D². उदाहरण के लिए, यदि अंकित वृत्त का व्यास बीस सेंटीमीटर है, तो वर्गवर्ग की गणना इस प्रकार की जा सकती है: 20² = 400 वर्ग सेंटीमीटर।
यदि आपको खोजने की आवश्यकता है वर्ग(एस) ज्ञात के अनुसार व्यासमी अंकित (डी) और परिचालित (डी) इसके चारों ओर वृत्त, फिर लंबाई का निर्माण करें व्यासअंकित वृत्त को एक वर्ग में विभाजित करें और चार से विभाजित करें, और परिणाम में अंकित और परिचालित वृत्तों की लंबाई का आधा उत्पाद जोड़ें: S=d²/4 + D*d/2। उदाहरण के लिए, यदि परिचालित वृत्त का व्यास बीस सेंटीमीटर है, और अंकित वृत्त दस सेंटीमीटर है, तो वर्गत्रिभुज की गणना इस प्रकार की जा सकती है: 10² / 4 + 20 * 10/2 = 25 + 100 = 125 वर्ग सेंटीमीटर।
अंतर्निर्मित का उपयोग करें खोज इंजनआवश्यक गणना करने के लिए Google. उदाहरण के लिए, ताकि इस खोज इंजन का उपयोग किया जा सके वर्ग सही त्रिकोणचौथे चरण के उदाहरण के अनुसार, आपको निम्नलिखित खोज क्वेरी दर्ज करनी होगी: "10^2/4 + 20*10/2" और एंटर कुंजी दबाएं।
स्रोत:
- व्यास द्वारा वृत्त का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें
वृत्त एक सपाट ज्यामितीय आकृति है, जिसके सभी बिंदु एक चयनित बिंदु से समान और गैर-शून्य दूरी पर होते हैं, जिसे वृत्त का केंद्र कहा जाता है। वृत्त के किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाली तथा केंद्र से गुजरने वाली सीधी रेखा कहलाती है व्यास. एक द्वि-आयामी आकृति की सभी सीमाओं की कुल लंबाई, जिसे आमतौर पर परिधि कहा जाता है, को अक्सर एक वृत्त की "परिधि" के रूप में जाना जाता है। किसी वृत्त की परिधि जानकर आप उसके व्यास की गणना कर सकते हैं।
निर्देश
व्यास ज्ञात करने के लिए, किसी वृत्त के मुख्य गुणों में से एक का उपयोग करें, जो यह है कि इसकी परिधि की लंबाई और व्यास का अनुपात सभी वृत्तों के लिए बिल्कुल समान है। बेशक, स्थिरता पर गणितज्ञों का ध्यान नहीं गया, और इस अनुपात को लंबे समय से अपना स्वयं का प्राप्त हुआ है - यह संख्या पाई है (π पहला ग्रीक शब्द है " घेरा" और "परिधि"). इसका संख्यात्मक मान एक वृत्त की लंबाई से निर्धारित होता है जिसका व्यास एक के बराबर होता है।
किसी वृत्त के व्यास की गणना करने के लिए उसकी ज्ञात परिधि को पाई से विभाजित करें। चूँकि यह संख्या " " है, इसका कोई सीमित मान नहीं है - यह एक भिन्न है। आपके द्वारा प्राप्त किए जाने वाले परिणाम की सटीकता के अनुसार पाई को गोल करें।
यदि आप इसे अपने दिमाग में नहीं कर सकते तो व्यास की लंबाई की गणना करने के लिए कुछ का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, आप उसका उपयोग कर सकते हैं जो निगमा या Google खोज इंजन में बनाया गया है - यह "मानव" भाषा में दर्ज गणितीय संचालन है। उदाहरण के लिए, यदि ज्ञात परिधि चार मीटर है, तो व्यास खोजने के लिए आप "मानवीय रूप से" खोज इंजन से पूछ सकते हैं: "4 मीटर पाई से विभाजित।" लेकिन यदि आप, उदाहरण के लिए, खोज क्वेरी फ़ील्ड में "4/pi" दर्ज करते हैं, तो खोज इंजन समस्या के इस सूत्रीकरण को समझ जाएगा। किसी भी स्थिति में, उत्तर "1.27323954 मीटर" होगा।
ग्लोब के व्यास का प्रश्न उतना सरल नहीं है जितना पहली नज़र में लग सकता है, क्योंकि अवधारणा ही " धरती"बहुत सशर्त. एक वास्तविक गेंद का व्यास हमेशा एक ही होगा, चाहे गोले की सतह पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला और केंद्र से गुजरने वाला एक खंड कहीं भी खींचा गया हो।
पृथ्वी के संबंध में, यह संभव नहीं लगता, क्योंकि इसका गोलाकार आकार आदर्श से बहुत दूर है (प्रकृति में कोई आदर्श ज्यामितीय आकृतियाँ और पिंड नहीं हैं; वे अमूर्त ज्यामितीय अवधारणाएँ हैं)। पृथ्वी को सटीक रूप से नामित करने के लिए, वैज्ञानिकों को एक विशेष अवधारणा - "जियोइड" भी पेश करनी पड़ी।
पृथ्वी का आधिकारिक व्यास
पृथ्वी का व्यास इस बात से निर्धारित होता है कि इसे कहाँ मापा जाएगा। सुविधा के लिए, दो संकेतकों को आधिकारिक तौर पर मान्यता प्राप्त व्यास के रूप में लिया जाता है: भूमध्य रेखा पर पृथ्वी का व्यास और उत्तर और भूमध्य रेखा के बीच की दूरी। दक्षिणी ध्रुव. पहला संकेतक 12,756.274 किमी है, और दूसरा 12,714 है, उनके बीच का अंतर 43 किमी से थोड़ा कम है।
ये संख्याएँ अधिक प्रभाव नहीं डालती हैं; ये मास्को और क्रास्नोडार - एक ही देश में स्थित दो शहरों - के बीच की दूरी से भी कम हैं। हालाँकि, उनका पता लगाना आसान नहीं था।
पृथ्वी के व्यास की गणना
ग्रह के व्यास की गणना किसी भी अन्य व्यास के समान ज्यामितीय सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
किसी वृत्त की परिधि ज्ञात करने के लिए, आपको उसके व्यास को संख्या पाई से गुणा करना होगा। नतीजतन, पृथ्वी का व्यास ज्ञात करने के लिए, आपको इसकी परिधि को उपयुक्त खंड (भूमध्य रेखा के साथ या ध्रुवों के तल में) में मापना होगा और इसे संख्या पाई से विभाजित करना होगा।
पृथ्वी की परिधि को मापने का प्रयास करने वाले पहले व्यक्ति साइरेन के प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक एराटोस्थनीज़ थे। उन्होंने उस दिन सिएना (अब असवान) में यह देखा ग्रीष्म संक्रांतिसूर्य अपने चरम पर है, एक गहरे कुएं के तल को रोशन कर रहा है। अलेक्जेंड्रिया में उस दिन यह आंचल से वृत्त का 1/50 दूर था। इससे वैज्ञानिक ने निष्कर्ष निकाला कि अलेक्जेंड्रिया से सायन तक की दूरी पृथ्वी की परिधि का 1/50 है। इन शहरों के बीच की दूरी 5,000 ग्रीक स्टेडियम (लगभग 787.5 किमी) है, इसलिए पृथ्वी की परिधि 250,000 स्टेडियम (लगभग 39,375 किमी) है।
आधुनिक वैज्ञानिकों के पास अपने निपटान में अधिक उन्नत माप उपकरण हैं, लेकिन वे सैद्धांतिक आधारएराटोस्थनीज के विचार से मेल खाता है। एक दूसरे से कई सौ किलोमीटर दूर स्थित दो बिंदुओं पर, आकाश में सूर्य या कुछ तारों की स्थिति दर्ज की जाती है और दोनों मापों के परिणामों के बीच अंतर की गणना डिग्री में की जाती है। दूरी को किलोमीटर में जानकर एक डिग्री की लंबाई की गणना करना और फिर उसे 360 से गुणा करना आसान है।
पृथ्वी के आकार को स्पष्ट करने के लिए लेजर रेंजिंग और उपग्रह अवलोकन प्रणाली दोनों का उपयोग किया जाता है।
आज यह माना जाता है कि भूमध्य रेखा पर पृथ्वी की परिधि 40,075.017 किमी है, और भूमध्य रेखा पर - 40,007.86 किमी है। एराटोस्थनीज से केवल थोड़ी सी गलती हुई थी।
पृथ्वी पर लगातार गिरने वाले उल्कापिंड के कारण पृथ्वी की परिधि और व्यास दोनों का आकार बढ़ रहा है, लेकिन यह प्रक्रिया बहुत धीमी है।
स्रोत:
- 2019 में पृथ्वी को कैसे मापा गया?