توابع قدرت، خواص و نمودارهای آنها. توابع توان با توان گویا. تابع. تابع توان تابع توان با یک عدد صحیح نمودار آن
تابع توانتابعی از فرم است y = x p، که در آن p یک عدد واقعی داده شده است.
ویژگی های تابع قدرت
- اگر نشانگر p = 2n- عدد طبیعی زوج:
- دامنه تعریف - همه اعداد واقعی، یعنی مجموعه R.
- مجموعه مقادیر - اعداد غیر منفی، یعنی y ≥ 0؛
- عملکرد یکنواخت است.
- تابع در بازه x ≤ 0 کاهش می یابد و در بازه x ≥ 0 افزایش می یابد.
- اگر نشانگر p = 2n - 1- عدد طبیعی فرد:
- دامنه تعریف - مجموعه R;
- مجموعه مقادیر - مجموعه R؛
- تابع فرد است.
- تابع در کل محور واقعی در حال افزایش است.
- اگر نشانگر p = -2n، جایی که n- عدد طبیعی:
- مجموعه ای از مقادیر - اعداد مثبت y > 0؛
- عملکرد یکنواخت است.
- تابع در بازه x 0 در حال افزایش است.
- اگر نشانگر p = -(2n - 1)، جایی که n- عدد طبیعی:
- دامنه تعریف - مجموعه R، به جز x = 0.
- مجموعه مقادیر - مجموعه R، به جز y = 0؛
- تابع فرد است.
- تابع در بازه های x 0 کاهش می یابد.
- اگر نشانگر پ- عدد غیر صحیح واقعی مثبت:
- دامنه تعریف - اعداد غیر منفی x ≥ 0;
- مجموعه مقادیر - اعداد غیر منفی y ≥ 0؛
- تابع در بازه x ≥ 0 در حال افزایش است.
- اگر نشانگر پ- عدد غیر صحیح واقعی منفی:
- دامنه تعریف - اعداد مثبت x > 0;
- مجموعه ای از مقادیر - اعداد مثبت y > 0؛
- تابع در بازه x > 0 کاهش می یابد.
آیا با توابع آشنا هستید y=x، y=x 2 ، y=x 3 ، y=1/xو غیره همه این توابع موارد خاصی از تابع توان، یعنی تابع هستند y=x پ، که در آن p یک عدد واقعی داده شده است. ویژگی ها و نمودار یک تابع توان به طور قابل توجهی به ویژگی های یک توان با توان واقعی و به ویژه به مقادیری بستگی دارد که ایکسو پدرجه منطقی است ایکس پ. اجازه دهید به بررسی مشابهی از موارد مختلف بسته به توان ادامه دهیم پ.
فهرست مطالب p=2n-عدد طبیعی حتی
در این مورد، تابع قدرت y=x 2n، جایی که n- یک عدد طبیعی، دارای موارد زیر است
خواص:
دامنه تعریف - همه اعداد واقعی، یعنی مجموعه R.
مجموعه مقادیر - اعداد غیر منفی، یعنی y بزرگتر یا مساوی 0 است.
تابع y=x 2nحتی، زیرا ایکس 2n =(-x) 2n
تابع در بازه زمانی کاهش می یابد ایکس<0 و در بازه افزایش می یابد x>0.
نمودار یک تابع y=x 2nشکلی مشابه با نمودار یک تابع دارد y=x 4 .
2. نشانگر p=2n-1- عدد طبیعی فرد در این حالت تابع توان است y=x 2n-1، جایی که یک عدد طبیعی است، دارای ویژگی های زیر است:
دامنه تعریف - مجموعه R;
مجموعه مقادیر - مجموعه R؛
تابع y=x 2n-1عجیب است زیرا (- ایکس) 2n-1 =ایکس 2n-1 ;
تابع در کل محور واقعی در حال افزایش است.
نمودار یک تابع y=x2n-1شکلی مشابه با نمودار یک تابع دارد y=x3.
3. اندیکاتور p=-2n، جایی که n-عدد طبیعی.
در این مورد، تابع قدرت y=x -2n =1/x 2n دارای خواص زیر است:
مجموعه مقادیر - اعداد مثبت y>0؛
تابع y =1/x 2nحتی، زیرا 1/(-x) 2n =1/x 2n ;
تابع در بازه x در حال افزایش است<0 и убывающей на промежутке x>0.
نمودار تابع y =1/x 2nشکلی مشابه با نمودار تابع y دارد =1/x 2 .
4. اندیکاتور p=-(2n-1)، جایی که n- عدد طبیعی. در این مورد، تابع قدرت y=x -(2n-1)دارای خواص زیر است:
دامنه تعریف - مجموعه R، به جز x=0;
مجموعه مقادیر - مجموعه R، به جز y=0؛
تابع y=x -(2n-1)عجیب است زیرا (- ایکس) -(2n-1) =-ایکس -(2n-1) ;
تابع در فواصل زمانی کاهش می یابد ایکس<0 و x>0.
نمودار یک تابع y=x -(2n-1)شکلی مشابه با نمودار یک تابع دارد y=1/x 3 .
توابع مثلثاتی معکوس، خواص و نمودارهای آنها.
توابع مثلثاتی معکوس، خواص و نمودارهای آنها.توابع مثلثاتی معکوس (توابع دایره ای, توابع قوس) - توابع ریاضی که معکوس توابع مثلثاتی هستند.
عملکرد آرکسین
نمودار یک تابع .
آرکسینشماره متراین مقدار زاویه نامیده می شود ایکس، برای کدام
تابع پیوسته است و در امتداد تمام خط عددی خود محدود شده است. تابع به شدت در حال افزایش است.
[ویرایش]خواص تابع arcsin
[ویرایش] دریافت تابع arcsin
با توجه به عملکرد در کل آن حوزه تعریفاو اتفاق می افتد تکه تکه یکنواختو بنابراین مطابقت معکوس یک تابع نیست بنابراین، بخشی را در نظر می گیریم که در آن به شدت افزایش می یابد و تمام مقادیر را می گیرد محدوده مقادیر- . از آنجایی که برای یک تابع در یک بازه، هر مقدار از آرگومان با یک مقدار واحد مطابقت دارد، پس در این بازه وجود دارد تابع معکوس که نمودار آن متقارن با نمودار یک تابع در یک قطعه نسبت به یک خط مستقیم است
در دامنه تعریف تابع توان y = x p فرمول های زیر برقرار است:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
ویژگی های توابع توان و نمودارهای آنها
تابع توان با توان برابر صفر، p = 0
اگر توان تابع توان y = x p برابر با صفر باشد، p = 0، آنگاه تابع توان برای همه x ≠ 0 تعریف می شود و یک ثابت برابر با یک است:
y = x p = x 0 = 1، x ≠ 0.
تابع توان با توان فرد طبیعی، p = n = 1، 3، 5، ...
تابع توانی y = x p = x n را با توان فرد طبیعی n = 1، 3، 5، ... در نظر بگیرید. این شاخص را می توان به شکل زیر نیز نوشت: n = 2k + 1، که k = 0، 1، 2، 3، ... یک عدد صحیح غیر منفی است. در زیر مشخصات و نمودارهای این توابع آورده شده است.
نمودار یک تابع توان y = x n با یک توان فرد طبیعی برای مقادیر مختلف توان n = 1، 3، 5، ....
دامنه: -∞ < x < ∞
معانی متعدد: -∞ < y < ∞
برابری:فرد، y(-x) = - y(x)
یکنواخت:یکنواخت افزایش می یابد
افراط:خیر
محدب:
در -∞< x < 0
выпукла вверх
در 0< x < ∞
выпукла вниз
نقاط عطف: x = 0، y = 0
x = 0، y = 0
محدودیت ها:
;
ارزش های خصوصی:
در x = -1،
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
در x = 0، y(0) = 0 n = 0
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
عملکرد معکوس:
برای n = 1، تابع معکوس آن است: x = y
برای n ≠ 1، تابع معکوس ریشه درجه n است:
تابع توان با توان زوج طبیعی، p = n = 2، 4، 6، ...
تابع توانی y = x p = x n با توان طبیعی زوج n = 2، 4، 6، ... را در نظر بگیرید. این شاخص را می توان به شکل زیر نیز نوشت: n = 2k، که در آن k = 1، 2، 3، ... - طبیعی است. خصوصیات و نمودارهای چنین توابعی در زیر آورده شده است.
نمودار تابع توان y = x n با توان طبیعی زوج برای مقادیر مختلف توان n = 2، 4، 6، ....
دامنه: -∞ < x < ∞
معانی متعدد: 0 ≤ y< ∞
برابری:زوج، y(-x) = y(x)
یکنواخت:
برای x ≤ 0 به طور یکنواخت کاهش می یابد
برای x ≥ 0 به طور یکنواخت افزایش می یابد
افراط:حداقل، x = 0، y = 0
محدب:محدب به پایین
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x = 0، y = 0
محدودیت ها:
;
ارزش های خصوصی:
در x = -1، y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
در x = 0، y(0) = 0 n = 0
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
عملکرد معکوس:
برای n = 2، جذر:
برای n ≠ 2، ریشه درجه n:
تابع توان با توان عدد صحیح منفی، p = n = -1، -2، -3، ...
یک تابع توانی y = x p = x n با توان منفی n = -1، -2، -3، ... را در نظر بگیرید. اگر n = -k را قرار دهیم، جایی که k = 1، 2، 3، ... یک عدد طبیعی است، آنگاه می توان آن را به صورت زیر نشان داد:
نمودار یک تابع توان y = x n با نما عدد صحیح منفی برای مقادیر مختلف توان n = -1، -2، -3، ... .
توان فرد، n = -1، -3، -5، ...
در زیر ویژگی های تابع y = x n با نماهای منفی فرد n = -1، -3، -5، ... آمده است.
دامنه: x ≠ 0
معانی متعدد: y ≠ 0
برابری:فرد، y(-x) = - y(x)
یکنواخت:یکنواخت کاهش می یابد
افراط:خیر
محدب:
در x< 0
:
выпукла вверх
برای x > 0: محدب رو به پایین
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات:خیر
امضا کردن:
در x< 0, y < 0
برای x > 0، y > 0
محدودیت ها:
; ; ;
ارزش های خصوصی:
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
عملکرد معکوس:
وقتی n = -1،
در n< -2
,
توان زوج، n = -2، -4، -6، ...
در زیر ویژگی های تابع y = x n با توان منفی زوج n = -2، -4، -6، ... آمده است.
دامنه: x ≠ 0
معانی متعدد: y > 0
برابری:زوج، y(-x) = y(x)
یکنواخت:
در x< 0
:
монотонно возрастает
برای x > 0: یکنواخت کاهش می یابد
افراط:خیر
محدب:محدب به پایین
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات:خیر
امضا کردن: y > 0
محدودیت ها:
; ; ;
ارزش های خصوصی:
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
عملکرد معکوس:
در n = -2،
در n< -2
,
تابع توان با توان گویا (کسری).
تابع توانی y = x p را با توان گویا (کسری) در نظر بگیرید، که در آن n یک عدد صحیح است، m > 1 یک عدد طبیعی است. علاوه بر این، n، m مقسوم علیه مشترک ندارند.
مخرج شاخص کسری فرد است
مخرج ضریب کسری فرد باشد: m = 3, 5, 7, ... . در این حالت تابع توان x p برای مقادیر مثبت و منفی آرگومان x تعریف می شود. اجازه دهید خواص چنین توابع توانی را زمانی در نظر بگیریم که توان p در محدوده خاصی باشد.
مقدار p منفی است، p< 0
توان گویا (با مخرج فرد m = 3، 5، 7، ...) کمتر از صفر باشد: .
نمودارهای توابع توان با یک توان منفی گویا برای مقادیر مختلف توان، که m = 3، 5، 7، ... فرد است.
عدد فرد، n = -1، -3، -5، ...
ما ویژگی های تابع توان y = x p را با یک توان منفی گویا ارائه می کنیم، که در آن n = -1، -3، -5، ... یک عدد صحیح منفی فرد است، m = 3، 5، 7 ... یک عدد است. عدد صحیح طبیعی عجیب و غریب
دامنه: x ≠ 0
معانی متعدد: y ≠ 0
برابری:فرد، y(-x) = - y(x)
یکنواخت:یکنواخت کاهش می یابد
افراط:خیر
محدب:
در x< 0
:
выпукла вверх
برای x > 0: محدب رو به پایین
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات:خیر
امضا کردن:
در x< 0, y < 0
برای x > 0، y > 0
محدودیت ها:
; ; ;
ارزش های خصوصی:
در x = -1، y(-1) = (-1) n = -1
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
عملکرد معکوس:
صورت زوج، n = -2، -4، -6، ...
ویژگی های تابع توان y = x p با یک توان منفی گویا، که در آن n = -2، -4، -6، ... یک عدد صحیح منفی زوج است، m = 3، 5، 7 ... یک عدد صحیح طبیعی فرد است. .
دامنه: x ≠ 0
معانی متعدد: y > 0
برابری:زوج، y(-x) = y(x)
یکنواخت:
در x< 0
:
монотонно возрастает
برای x > 0: یکنواخت کاهش می یابد
افراط:خیر
محدب:محدب به پایین
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات:خیر
امضا کردن: y > 0
محدودیت ها:
; ; ;
ارزش های خصوصی:
در x = -1، y(-1) = (-1) n = 1
برای x = 1، y (1) = 1 n = 1
عملکرد معکوس:
مقدار p مثبت است، کمتر از یک، 0< p < 1
نمودار تابع توان با توان گویا (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
عدد فرد، n = 1، 3، 5، ...
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
دامنه: -∞ < x < +∞
معانی متعدد: -∞ < y < +∞
برابری:فرد، y(-x) = - y(x)
یکنواخت:یکنواخت افزایش می یابد
افراط:خیر
محدب:
در x< 0
:
выпукла вниз
برای x > 0: محدب به سمت بالا
نقاط عطف: x = 0، y = 0
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x = 0، y = 0
امضا کردن:
در x< 0, y < 0
برای x > 0، y > 0
محدودیت ها:
;
ارزش های خصوصی:
در x = -1، y(-1) = -1
در x = 0، y (0) = 0
برای x = 1، y (1) = 1
عملکرد معکوس:
عدد زوج، n = 2، 4، 6، ...
خواص تابع توان y = x p با توان گویا در 0 ارائه شده است< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
دامنه: -∞ < x < +∞
معانی متعدد: 0 ≤ y< +∞
برابری:زوج، y(-x) = y(x)
یکنواخت:
در x< 0
:
монотонно убывает
برای x > 0: یکنواخت افزایش می یابد
افراط:حداقل در x = 0، y = 0
محدب:محدب به سمت بالا برای x ≠ 0
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x = 0، y = 0
امضا کردن:برای x ≠ 0، y > 0
محدودیت ها:
;
ارزش های خصوصی:
در x = -1، y(-1) = 1
در x = 0، y (0) = 0
برای x = 1، y (1) = 1
عملکرد معکوس:
شاخص p بزرگتر از یک است، p > 1
نمودار یک تابع توان با یک توان گویا (p> 1) برای مقادیر مختلف توان، که در آن m = 3، 5، 7، ... - فرد است.
عدد فرد، n = 5، 7، 9، ...
ویژگی های تابع توان y = x p با توان گویا بزرگتر از یک: . که در آن n = 5، 7، 9، ... - عجیب طبیعی، m = 3، 5، 7 ... - طبیعی عجیب و غریب.
دامنه: -∞ < x < ∞
معانی متعدد: -∞ < y < ∞
برابری:فرد، y(-x) = - y(x)
یکنواخت:یکنواخت افزایش می یابد
افراط:خیر
محدب:
در -∞< x < 0
выпукла вверх
در 0< x < ∞
выпукла вниз
نقاط عطف: x = 0، y = 0
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x = 0، y = 0
محدودیت ها:
;
ارزش های خصوصی:
در x = -1، y(-1) = -1
در x = 0، y (0) = 0
برای x = 1، y (1) = 1
عملکرد معکوس:
عدد زوج، n = 4، 6، 8، ...
ویژگی های تابع توان y = x p با توان گویا بزرگتر از یک: . که در آن n = 4، 6، 8، ... - زوج طبیعی، m = 3، 5، 7 ... - طبیعی عجیب و غریب.
دامنه: -∞ < x < ∞
معانی متعدد: 0 ≤ y< ∞
برابری:زوج، y(-x) = y(x)
یکنواخت:
در x< 0
монотонно убывает
برای x > 0 به طور یکنواخت افزایش می یابد
افراط:حداقل در x = 0، y = 0
محدب:محدب به پایین
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x = 0، y = 0
محدودیت ها:
;
ارزش های خصوصی:
در x = -1، y(-1) = 1
در x = 0، y (0) = 0
برای x = 1، y (1) = 1
عملکرد معکوس:
مخرج نشانگر کسری زوج است
مخرج ضریب کسری زوج باشد: m = 2, 4, 6, ... . در این حالت، تابع توان x p برای مقادیر منفی آرگومان تعریف نشده است. ویژگیهای آن با ویژگیهای یک تابع توان با توان غیرمنطقی منطبق است (به بخش بعدی مراجعه کنید).
تابع توان با توان غیر منطقی
تابع توانی y = x p را با توان غیر منطقی p در نظر بگیرید. ویژگی های چنین توابعی با مواردی که در بالا مورد بحث قرار گرفت متفاوت است زیرا برای مقادیر منفی آرگومان x تعریف نشده اند. برای مقادیر مثبت آرگومان، ویژگی ها فقط به مقدار توان p بستگی دارد و به اینکه p عدد صحیح، منطقی یا غیرمنطقی باشد بستگی ندارد.
y = x p برای مقادیر مختلف توان p.
تابع توان با توان منفی p< 0
دامنه: x > 0
معانی متعدد: y > 0
یکنواخت:یکنواخت کاهش می یابد
محدب:محدب به پایین
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات:خیر
محدودیت ها: ;
معنی خصوصی:برای x = 1، y(1) = 1 p = 1
تابع توان با توان مثبت p > 0
نشانگر کمتر از یک 0< p < 1
دامنه: x ≥ 0
معانی متعدد: y ≥ 0
یکنواخت:یکنواخت افزایش می یابد
محدب:محدب به سمت بالا
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x = 0، y = 0
محدودیت ها:
ارزش های خصوصی:برای x = 0، y(0) = 0 p = 0.
برای x = 1، y(1) = 1 p = 1
نشانگر بزرگتر از یک p > 1 است
دامنه: x ≥ 0
معانی متعدد: y ≥ 0
یکنواخت:یکنواخت افزایش می یابد
محدب:محدب به پایین
نقاط عطف:خیر
نقاط تقاطع با محورهای مختصات: x = 0، y = 0
محدودیت ها:
ارزش های خصوصی:برای x = 0، y(0) = 0 p = 0.
برای x = 1، y(1) = 1 p = 1
منابع:
که در. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.
توابع y = ax، y = ax 2، y = a/x انواع خاصی از تابع توان در n = 1, n = 2, n = -1 .
اگر nیک عدد کسری پ/ qبا مخرج زوج qو عدد فرد آر، سپس مقدار ممکن است دو علامت داشته باشد و نمودار قسمت دیگری در پایین محور x دارد ایکس، و به قسمت بالایی متقارن است.
نمودار تابع دو مقداری y = ± 2x 1/2 را می بینیم، یعنی. با یک سهمی با یک محور افقی نشان داده شده است.
نمودارهای تابع y = xnدر n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . این نمودارها از نقطه (1؛ 1) عبور می کنند.
چه زمانی n = -1 ما گرفتیم هایپربولی. در n < - 1 نمودار تابع توان ابتدا در بالای هذلولی قرار دارد، یعنی. بین x = 0و x = 1، و سپس پایین بیاورید (در x > 1). اگر n> -1 نمودار برعکس می شود. ارزش های منفی ایکسو مقادیر کسری nمشابه برای مثبت n.
همه نمودارها به طور نامحدود به محور x تقریب دارند ایکس،و به محور ترتیب دربدون دست زدن به آنها به دلیل شباهت آنها به هذلولی، این نمودارها هذلولی نامیده می شوند n هفتمسفارش.
تابع توان با فرمولی از فرم داده می شود.
بیایید شکل نمودارهای یک تابع توان و خواص یک تابع توان را بسته به مقدار توان در نظر بگیریم.
بیایید با یک تابع توان با توان عدد صحیح شروع کنیم آ. در این مورد، ظاهر نمودارهای توابع توان و خواص توابع به یکنواختی یا عجیب بودن توان و همچنین به علامت آن بستگی دارد. بنابراین ابتدا توابع توان را برای مقادیر مثبت فرد توان در نظر می گیریم آ، سپس - برای نماهای مثبت زوج، سپس - برای نماهای منفی فرد، و در نهایت، برای نماهای منفی زوج آ.
خواص توابع توان با توان کسری و غیر منطقی (و همچنین نوع نمودارهای این توابع توانی) به مقدار توان بستگی دارد. آ. ما آنها را ابتدا در چه زمانی در نظر خواهیم گرفت آاز صفر به یک، ثانیا، زمانی که آواحدهای بزرگتر، سوم، با آاز منهای یک تا صفر، چهارم، با آکوچکتر منهای یک
در پایان این بخش برای کامل بودن تابع توان با توان صفر را توضیح می دهیم.
تابع توان با توان مثبت فرد.
اجازه دهید یک تابع توان با نما مثبت فرد، یعنی با، در نظر بگیریم a=1،3،5،….
شکل زیر نمودارهای توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز، - خط سبز را نشان می دهد. در a=1ما داریم تابع خطی y=x.
ویژگی های تابع توان با نما مثبت فرد.
تابع توان با نما حتی مثبت.
اجازه دهید تابع توانی را با توان مثبت در نظر بگیریم، یعنی برای a=2،4،6،….
به عنوان مثال، نمودارهایی از توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز ارائه می دهیم. در a=2ما یک تابع درجه دوم داریم که نمودار آن است سهمی درجه دوم.
ویژگی های یک تابع توان با توان مثبت زوج.
تابع توان با توان منفی فرد.
به نمودارهای تابع توان برای مقادیر منفی فرد توان نگاه کنید، یعنی برای a=-1،-3،-5،….