Вычисление значения числа "пи". Что особенного в числе Пи? Отвечает математик
История числа Пи начинается еще с Древнего Египта и идет параллельно с развитием всей математики. Мы же впервые встречаемся с этой величиной в стенах школы.
Число Пи является, пожалуй, самым загадочным из бесконечного множества других. Ему посвящены стихи, его изображают художники, о нем даже снят фильм. В нашей статье мы рассмотрим историю развития и вычисления, а также области применения константы Пи в нашей жизни.
Число Пи – это математическая константа равная отношению длины окружности к длине ее диаметра. Первоначально оно называлось лудольфово числом, а обозначать его буквой Пи было предложено британским математиком Джонсом в 1706 году. После работ Леонарда Эйлера в 1737 году это обозначение стало общепринятым.
Число Пи является иррациональным, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n - целые числа. Впервые это доказал Иоганн Ламберт в 1761 году.
История развития числа Пи насчитывает уже порядка 4000 лет. Еще древнеегипетским и вавилонским математикам было известно, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности и значение его равно чуть больше трех.
Архимед предложил математический способ вычисления Пи, в котором он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. По его расчетам Пи примерно равнялась 22/7 ≈ 3,142857142857143.
Во II веке Чжан Хэн предложил два значения числа Пи: ≈ 3,1724 и ≈ 3,1622.
Индийские математики Ариабхата и Бхаскара нашли приблизительное значение 3,1416.
Самым точным приближением числа Пи на протяжении 900 лет было вычисление китайского математика Цзу Чунчжи, проведенное в 480-х годах. Он вывел, что Пи ≈ 355 / 113 , и показал, что 3,1415926 < Пи < 3,1415927.
До II тысячелетия было вычислено не более 10 цифр числа Пи. Лишь с развитием математического анализа, а особенно с открытием рядов, были осуществлены последующие крупные продвижения в вычислении константы.
В 1400-х годах Мадхава смог вычислить Пи=3,14159265359. Его рекорд удалось побить персидскому математику Аль-Каши в 1424 году. Он в своём труде «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа Пи, 16 из которых оказались верными.
Голландский математик Людольф ван Цейлен дошел в своих вычислениях до 20-ти чисел, отдав на это 10 лет жизни. После его смерти в его записях были обнаружены еще 15 цифр числа Пи. Он завещал, чтобы эти цифры были высечены на его надгробии.
С появлением компьютеров число Пи на сегодняшний день насчитывает несколько триллионов знаков и это не предел. Но, как подмечено в книге «Fractals for the Classroom», при всей важности числа Пи «трудно найти сферы в научных расчетах, где потребовалось бы больше двадцати десятичных знаков».
В нашей жизни число Пи используется во многих научных областях. Физика, электроника, теория вероятностей, химия, строительство, навигация, фармакология - это лишь некоторые из них, которые просто невозможно представить себе без этого загадочного числа.
Хотите знать и уметь, больше и сами?
Мы предлагаем Вам обучение по направлениям: компьютеры, программы, администрирование, сервера, сети, сайтостроение, SEO и другое. Узнайте подробности сейчас!
По материалам сайта Calculator888.ru - Число Пи - значение, история, кто придумал .
Недавно на Хабре в одной статье упомянули про вопрос «Что было бы с миром, если бы число Пи равнялось 4?» Я решил слегка поразмышлять на эту тему, используя некоторые (пусть и не самые обширные) знания в соответствующих областях математики. Кому интересно – прошу под кат.
Чтобы представить такой мир, нужно математически реализовать пространство с иным соотношением длины окружности к ее диаметру. Это я и попытался сделать.
Попытка №1.
Оговорим сразу, что рассматривать я буду только двумерные пространства. Почему? Потому что окружность, собственно, определена в двумерном пространстве (если рассмотреть размерность n>2, то отношение меры (n-1)-мерной окружности к ее радиусу даже не будет константой).Так что для начала я попытался придумать хоть какое-то пространство, где Пи не равно 3.1415… Для этого я взял метрическое пространство с метрикой, в которой расстояние между двумя точками равно максимуму среди модулей разности координат (т.е. расстояние Чебышева).
Какой же вид будет иметь единичная окружность в этом пространстве? Возьмем точку с координатами (0,0) за центр этой окружности. Тогда множество точек, расстояние (в смысле заданной метрики) от которых до центра равно 1, есть 4 отрезка, параллельных осям координат, образующих квадрат со стороной 2 и с центром в нуле.
Да, в некоторой метрике это - окружность!
Посчитаем здесь Пи. Радиус равен 1, тогда диаметр, соответственно, равен 2. Можно также рассмотреть определение диаметра как наибольшего расстояния между двумя точками, но даже так оно равно 2. Осталось найти длину нашей «окружности» в данной метрике. Это сумма длин всех четырех отрезков, которые в данной метрике имеют длину max(0,2)=2. Значит, длина окружности равна 4*2=8. Ну а тогда Пи здесь равно 8/2=4. Получилось! Но нужно ли сильно радоваться? Результат этот практически бесполезен, ведь рассматриваемое пространство абсолютно абстрактно, в нем даже не определены углы и повороты. Вы можете представить себе мир, где по факту не определен поворот, и где окружностью является квадрат? Я пытался, честно, но у меня не хватило воображения.
Радиус равен 1, а вот с нахождением длины этой «окружности» есть некоторые сложности. После некоторых поисков информации в интернете, я пришел к выводу, что в псевдоевклидовом пространстве такое понятие как «число Пи» вообще не может быть определено, что, безусловно, плохо.
Если кто-нибудь в комментариях расскажет мне, как формально считать длину кривой в псевдоевклидовом пространстве, я буду очень рад, ибо моих познаний в дифференциальной геометрии, топологии (а также усердного гугления) для этого не хватило.
Выводы:
Не знаю, можно ли писать о выводах после таких не сильно продолжительных исследований, но кое-что сказать можно. Во-первых, попытавшись представить пространство с иным числом Пи, я понял, что оно будет слишком абстрактно, чтобы быть моделью реального мира. Во-вторых, когда если попытаться придумать более удачную модель (похожую на наш, реальный мир), выходит, что число Пи останется неизменным. Если принять за данность возможность отрицательного квадрата расстояния (что для обычного человека - просто абсурд), то Пи не будет определено вовсе! Все это и наводит на мысль, что, возможно, мира с другим числом Пи и вовсе быть не могло? Ведь не зря же Вселенная именно такая, какая она есть. А может быть, это и реально, только обычной математики, физики и человеческого воображения для этого недостаточно. А вы как считаете?Upd. Узнал точно. Длина кривой в псевдоевклидовом пространстве может быть определена только на каком-либо его евклидовом подпространстве. То есть, в частности, для получившейся в попытке N3 «окружности» вовсе не определено такое понятие как «длина». Соответственно, Пи там тоже посчитать нельзя.
С недавних пор существует элегантная формула для вычисления числа Пи, которую в 1995 году впервые опубликовали Дэвид Бэйли, Питер Борвайн и Саймон Плафф:
Казалось бы: что в ней особенного — формул для вычисления Пи великое множество: от школьного метода Монте-Карло до труднопостижимого интеграла Пуассона и формулы Франсуа Виета из позднего Средневековья. Но именно на эту формулу стоит обратить особое внимание — она позволяет вычислить n-й знак числа пи без нахождения предыдущих. За информацией о том, как это работает, а также за готовым кодом на языке C, вычисляющим 1 000 000-й знак, прошу под хабракат.
Как же работает алгоритм вычисления N-го знака Пи?
К примеру, если нам нужен 1000-й шестнадцатеричный знак числа Пи, мы домножаем всю формулу на 16^1000, тем самым обращая множитель, стоящий перед скобками, в 16^(1000-k). При возведении в степень мы используем двоичный алгоритм возведения в степень или, как будет показано в примере ниже, возведение в степень по модулю . После этого вычисляем сумму нескольких членов ряда. Причём необязательно вычислять много: по мере возрастания k 16^(N-k) быстро убывает, так что, последующие члены не будут оказывать влияния на значение искомых цифр). Вот и вся магия — гениальная и простая.
Формула Бэйли-Борвайна-Плаффа была найдена Саймоном Плаффом при помощи алгоритма PSLQ , который был в 2000 году включён в список Top 10 Algorithms of the Century . Сам же алгоритм PSLQ был в свою очередь разработан Бэйли. Вот такой мексиканский сериал про математиков.
Кстати, время работы алгоритма — O(N), использование памяти — O(log N), где N — порядковый номер искомого знака.
Думаю, уместно будет привести код на языке Си, написанный непосредственно автором алгоритма, Дэвидом Бэйли:
/*
This program implements the BBP algorithm to generate a few hexadecimal
digits beginning immediately after a given position id, or in other words
beginning at position id + 1. On most systems using IEEE 64-bit floating-
point arithmetic, this code works correctly so long as d is less than
approximately 1.18 x 10^7. If 80-bit arithmetic can be employed, this limit
is significantly higher. Whatever arithmetic is used, results for a given
position id can be checked by repeating with id-1 or id+1, and verifying
that the hex digits perfectly overlap with an offset of one, except possibly
for a few trailing digits. The resulting fractions are typically accurate
to at least 11 decimal digits, and to at least 9 hex digits.
*/
/* David H. Bailey 2006-09-08 */
#include
Какие возможности это даёт? Например: мы можем создать систему распределённых вычислений, рассчитывающую число Пи и поставить всем Хабром новый рекорд по точности вычисления (который сейчас, к слову, составляет 10 триллионов знаков после запятой). Согласно эмпирическим данным, дробная часть числа Пи представляет собой нормальную числовую последовательность (хотя доказать это достоверно ещё не удалось), а значит, последовательности цифр из него можно использовать в генерации паролей и просто случайных чисел, или в криптографических алгоритмах (например, в хэшировании). Способов применения можно найти великое множество - надо только включить фантазию.
Больше информации по теме вы можете найти в статье самого Дэвида Бэйли, где он подробно рассказывает про алгоритм и его имплементацию (pdf);
И, похоже, вы только что прочитали первую русскоязычную статью об этом алгоритме в рунете - других я найти не смог.
Сегодня день рождения числа Пи, который, по инициативе американских математиков, отмечается 14 марта в 1 час и 59 минут пополудни. Связано это с более точным значением числа Пи: все мы привыкли считать эту константу как 3,14, но число можно продолжить так: 3, 14159... Переводя это в календарную дату, получаем 03.14, 1:59.
Фото: АиФ/ Надежда Уварова
Профессор кафедры математического и функционального анализа Южно-Уральского государственного университета Владимир Заляпин говорит, что «днём числа Пи» всё же следует считать 22 июля, потому что в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби приблизительно равно значению Пи.
«История числа, дающего отношение длины окружности к диаметру окружности, уходит в далёкую древность, — рассказывает Заляпин. — Уже шумеры и вавилоняне знали, что это это отношение не зависит от диаметра окружности и является постоянным. Одно из первых упоминаний о числе Пи можно встретить в текстах египетского писца Ахмеса (около 1650 года до н. э.). Древние греки, много позаимствовавшие у египтян, внесли свой вклад в развитие этой загадочной величины. По легенде, Архимед был настолько увлечён расчётами, что не заметил, как римские солдаты взяли его родной город Сиракузы. Когда римский солдат подошёл к нему, Архимед закричал по-гречески: «Не трогай моих кругов!». В ответ солдат заколол его мечом.
Платон получил довольно точное значение числа Пи для своего времени — 3,146. Лудольф ванн Цейлен провёл большую часть своей жизни над расчётами первых 36 цифр после запятой числа Пи, и они были выгравированы на его надгробной плите после смерти».Иррациональное и ненормальное
По словам профессора, во все времена погоня за вычислением новых десятичных знаков обуславливалась желанием получить точное значение этого числа. Предполагалось, что число Пи рациональное и, следовательно, может быть выражено простой дробью. А это в корне неверно!
Число Пи популярно ещё и потому, что оно — мистическое. С древних времён существовала религия почитателей константы. Помимо традиционного значения Пи — математической константы (3,1415...), выражающей отношение длины окружности к её диаметру, есть масса других значений цифры. Любопытны такие факты. В процессе измерений размеров Великой пирамиды в Гизе оказалось, что она имеет такое же соотношение высоты к периметру своего основания, как радиус окружности к её длине, то есть ½ Пи.
Если рассчитать длину экватора Земли с использованием числа Пи с точностью до девятого знака, ошибка в расчётах составит всего около 6 мм. Тридцати девяти знаков после запятой в числе Пи достаточно для вычисления длины окружности, опоясывающей известные космические объекты во Вселенной, с погрешностью не большей, чем радиус атома водорода!
Изучением Пи занимается в том числе и математический анализ. Фото: АиФ/ Надежда Уварова
Хаос в цифрах
По словам профессора математики, в 1767 году Ламберт установил иррациональность числа Пи, то есть невозможность представить его отношением двух целых. Это означает, что последовательность десятичных знаков числа Пи — это хаос, овеществлённый в цифрах. Иными словами, в «хвосте» десятичных знаков содержится любое число, любая последовательность чисел, любые тексты, которые были, есть и будут, да только извлечь эту информацию не представляется возможным!«Точное значение числа Пи узнать невозможно, — продолжает Владимир Ильич. — Но попытки эти не оставляются. В 1991 году Чудновские добились новых 2260000000 десятичных знаков константы, а в 1994 году — 4044000000. После этого количество верных знаков числа Пи нарастало лавинообразно».
Мировой рекорд по запоминанию числа Пи у китайца Лю Чао , который сумел запомнить 67890 знаков после запятой без ошибки и воспроизвести их в течение 24 часов и 4 минут.
О «золотом сечении»
Кстати, связь между «пи» и другой удивительной величиной — золотым сечением — на самом деле так и не доказана. Люди давно заметили, что «золотая» пропорция — она же число Фи — и число Пи, делённое на два, различаются между собой меньше, чем на 3% (1,61803398... и 1,57079632...). Однако для математики эти три процента — разница слишком существенная, чтобы считать эти значения тождественными. Точно так же можно сказать, что число Пи и число Фи являются родственниками ещё одной известной постоянной — числа Эйлера, так как корень из него близок к половине числа Пи. Одна вторая Пи — 1, 5708, Фи — 1,6180, корень из Е — 1, 6487.
Это — лишь часть значения Пи. Фото: Скриншот
День рождения Пи
В Южно-Уральском государственном университете день рождения константы отмечают все преподаватели и студенты-математики. Так было всегда — нельзя сказать, что интерес появился лишь в последние годы. Число 3,14 приветствуют даже специальным праздничным концертом!
В числе ПИ очень много загадок. Вернее это даже не загадки, а своего рода какая-то Истина, которую за всю историю человечества никто еще не разгадал…
Что такое число Пи? Число ПИ - математическая «константа», выражающая отношение длины окружности к её диаметру. Сначала по невежеству его (это отношение) считали равным трем, что было грубо приближенно, но им хватало. Но когда времена доисторические сменились временами древними (т.е. уже историческими), то удивлению пытливых умов не было предела: оказалось, что число три весьма неточно выражает это соотношение. С течением времени и развитием наук это число стали полагать равным двадцати двум седьмым.
Английский математик Август де Морган назвал как-то число ПИ “…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу”. Неутомимые ученые продолжали и продолжали вычислять десятичные знаки числа Пи, что является на самом деле дико нетривиальной задачей, потому что просто так в столбик его не вычислить: число это не только иррациональное, но и трансцендентное (это вот как раз такие числа, которые не вычисляются путем простых уравнений).
В процессе вычислений этих самых знаков было открыто множество разных научных методов и целых наук. Но самое главное – в десятичной части числа пи нет повторений, как в обычной периодической дроби, а число знаков после запятой у него – бесконечно. На сегодняшний день проверено, что в 500 млрд. знаков числа пи повторений действительно нет. Есть основания полагать, что их нет вообще.
Поскольку в последовательности знаков числа пи нет повторений – это значит, что последовательность знаков числа пи подчиняется теории хаоса, точнее, число пи – это и есть хаос, записанный цифрами. Более того, при желании, можно этот хаос представить графически, и есть предположение, что этот Хаос разумен.
В 1965-м году американский математик М. Улэм, сидя на одном скучном собрании, от нечего делать начал писать на клетчатой бумаге цифры, входящие в число пи. Поставив в центре 3 и двигаясь по спирали против часовой стрелки, он выписывал 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 и прочие цифры после запятой. Попутно он обводил все простые числа кружками. Каково же было его удивление и ужас, когда кружки стали выстраиваться вдоль прямых!
В десятичном хвосте числа пи можно отыскать любую задуманную последовательность цифр. Любая последовательность цифр в десятичных знаках числа пи рано или поздно найдется. Любая!
Ну и что? – спросите вы. А то. Прикиньте: если там есть ваш телефон (а он есть), то ведь там же есть и телефон той девушки, которая не захотела дать вам свой номер. Более того, там есть и номера кредиток, и даже все значения выигрышных номеров завтрашнего тиража лотереи. Да что там, вообще всех лотерей на много тысячелетий вперед. Вопрос в том, как их там отыскать…
Если зашифровать все буквы цифрами, то в десятичном разложении числа пи можно найти всю мировую литературу и науку, и рецепт изготовления соуса бешамель, и все священные книги всех религий. Это строгий научный факт. Ведь последовательность БЕСКОНЕЧНА и сочетания в числе ПИ не повторяются, следовательно она содержит ВСЕ сочетания цифр, и это уже доказано. А раз все, то ВСЕ. В том числе и такие, которые соответствуют выбранной вами книге.
А это опять-таки означает, что там содержится не только вся мировая литература, которая уже написана (в частности и те книги, которые сгорели и т.д.), но и все книги, которые еще БУДУТ написаны. В том числе и Ваши статьи на сайтах. Получается, что это число (единственное разумное число во Вселенной!) и управляет нашим миром. Надо только рассмотреть побольше знаков, найти нужный участок и расшифровать его. Это чем-то сродни парадоксу со стадом шимпанзе, долбящем по клавиатуре. При достаточно долгом (можно даже оценить это время) эксперименте они напечатают все пьесы Шекспира.
Тут же напрашивается аналогия с периодически появляющимися сообщениями о том, что в Ветхом Завете, якобы, закодированы послания потомкам, поддающиеся прочтению с помощью хитроумных программ. Отметать сходу такую экзотическую особенность Библии не совсем мудро, кабаллисты веками занимаются поиском таких пророчеств, но хотелось бы привести сообщение одного исследователя, который с помощью компьютера нашел в Ветхом завете слова о том, что в Ветхом Завете нет никаких пророчеств. Скорее всего, в очень большом тексте, так же, как и в бесконечных цифрах числа ПИ, можно не только закодировать любую информацию, но и “найти” фразы, изначально не заложенные туда.
Для практики, в пределах Земли достаточно 11 знаков после точки. Тогда, зная, что радиус Земли равен 6400 км или 6,4*1012 миллиметров, получится, что мы, отбросив двенадцатую цифру в числе ПИ после точки при вычислении длины меридиана, ошибемся на несколько миллиметров. А при расчете длины Земной орбиты при вращении вокруг Солнца (как известно, R=150*106 км = 1,5*1014 мм) для такой же точности достаточно использовать число ПИ с четырнадцатью знаками после точки, да что уж там мелочиться - диаметр нашей Галактики около 100.000 световых лет (1 световой год примерно равен 1013 км) или 1018 км или 1030 мм., а еще в XVII веке были получены 34 знака числа ПИ, избыточные для таких расстояний, а их на данный момент вычислено до 12411-триллионного знака !!!
Отсутствие периодически повторяющихся цифр, а именно, исходя их формулы Длина окружности=Пи*D окружность не замыкается, так как нет конечного числа. Этот факт также может тесно быть связан с спиральным проявлением в нашей жизни …
Есть еще гипотеза о том, что все (или некоторые) универсальные постоянные (постоянная Планка, число Эйлера, универсальная гравитационная постоянная, заряд электрона и т.д.) со временем меняют свои значения, так как меняется кривизна пространства из-за перераспределения материи или по другим, не известным нам причинам.
Рискуя навлечь гнев просвещенного сообщества, можем предположить, что и рассматриваемое сегодня число ПИ, отражающее свойства Вселенной, может со временем меняться. Во всяком случае, никто не может нам запретить заново найти значение числа ПИ, подтвердив (или не подтвердив) имеющиеся значения.
10 интересных фактов про число ПИ
1. История числа насчитывает не одно тысячелетие, почти столько, сколько существует наука математика. Конечно, точное значение числа рассчитали не сразу. Поначалу отношение длины окружности к диаметру считали равным 3. Но с течением времени, когда начала развиваться архитектура, потребовалось более точное измерение. Кстати, число существовало, а вот буквенное обозначение оно получило только в начале XVIII века (1706 год) и происходит от начальных букв двух греческих слов, означающих «окружность» и «периметр». Буквой «π» число наделил математик Джонс, а прочно вошла в математику она уже в 1737 году.
2. В разные эпохи и у разных народов число Пи имело разное значение. Например, в Древнем Египте оно равнялось 3,1604, у индусов оно приобрело значение 3,162, китайцы пользовались числом, равным 3,1459. С течением времени π рассчитывали все точнее, а когда появилась вычислительная техника, то есть компьютер, оно стало насчитывать более 4 миллиардов знаков.
3. Есть легенда, точнее так считают специалисты, что число Пи использовали при строительстве Вавилонской башни. Однако не гнев божий стал причиной ее обрушения, а неправильные расчеты при строительстве. Мол, древние мастера ошиблись. Подобная версия существует касательно храма Соломона.
4. Примечательно, что значение числа Пи пытались вводить даже на уровне государства, то есть посредством закона. В 1897 году в штате Индиана подготовили билль. Согласно документу Пи равнялось 3,2. Однако ученые вовремя вмешались и предотвратили таким образом ошибку. В частности, против билля выступил профессор Пердью, присутствовавший на законодательном собрании.
5. Интересно, что свое имя имеют несколько чисел в бесконечной последовательности Пи. Так, шесть девяток числа Пи носят имя американского физика. Как-то Ричард Фейнман читал лекцию и ошарашил публику замечанием. Он сказал, что хотел бы наизусть выучить цифры числа Пи до шести девяток только для того, чтобы под конец рассказа произнести шесть раз «девять», намекая на то, что его значение рационально. Тогда как на самом деле оно иррационально.
6. Математики всего мира не прекращают вести исследования, связанные с числом Пи. Оно буквально окутано некой тайной. Некоторые теоретики даже полагают, что в нем заключена вселенская истина. Чтобы обмениваться знаниями и новой информацией о Пи, организовали Пи-клуб. Вступить в него непросто, нужно иметь незаурядную память. Так, желающих стать членом клуба экзаменуют: человек должен по памяти рассказать как можно больше знаков числа Пи.
7. Придумали даже различные техники для запоминания числа Пи после запятой. Например, придумывают целые тексты. В них слова имеют то же количество букв, что и соответствующая цифра после запятой. Чтобы еще упростить запоминание такого длинного числа, сочиняют стихи по тому же принципу. Члены Пи-клуба частенько развлекаются таким образом, а заодно тренируют память и сообразительность. Например, такое хобби было у Майка Кейта, который восемнадцать лет назад придумал рассказ, каждое слово в котором равнялось почти четырем тысячам (3834) первых знаков числа Пи.
8. Есть даже люди, поставившие рекорды по запоминанию знаков Пи. Так, в Японии Акира Харагучи наизусть выучил больше восьмидесяти трех тысяч знаков. А вот отечественный рекорд не такой выдающийся. Житель Челябинска сумел наизусть произнести только две с половиной тысячи чисел после запятой числа Пи.
9. День числа Пи отмечают больше четверти века, с 1988 года. Однажды физик из научно-популярного музея в Сан-Франциско Ларри Шоу заметил, что 14 марта по написанию совпадает с числом Пи. В дате месяц и число образуют 3.14.
10. Есть любопытное совпадение. 14 марта родился великий ученый Альберт Эйнштейн, создавший, как известно, теорию относительности.